62 电子自旋算符和自旋函数 - 西北大学精品课程建设网.ppt

自旋是一个力学量,在量子力学中,它应该用线性厄米算符表示。其次,既然是算符,它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质,而角动量算符满足的对易关系是:
()
电子自旋算符和自旋函数
在量子力学中,不要误以为角动量就是, 只是轨道角动量,是角动量的一种。凡满足()的算符都是角动量。自旋既然是角动量,那么它自然满足:
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由于自旋在空间中任意方向的投影只能取两个值。因此,任意选定坐标系后, 三个算符的本征值都是, 的值都是即
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电子自旋算符和自旋函数
写成分量形式:
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()
则的本征值为:
电子自旋算符和自旋函数
若将任何角动量平方算符的本征值记为, 称为角动量量子数,则自旋角动量量子数满足:
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所以
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为方便起见,引入算符,令
()
即
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则由()及()式得
电子自旋算符和自旋函数
()
写成分量形式
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而的本征值为,而且
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定义:任意算符和的反对易关系为
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则
电子自旋算符和自旋函数
同理
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现在来找特定表象下, 算符的矩阵形式。由于与对易,则在它们的共同表象中, 的矩阵必然为
()
这是因为只有两个本征值,因而它对应的矩阵只能是的矩阵,而且在自身表象中,矩阵对角线上的元素就是它的本征值。
电子自旋算符和自旋函数
为求出, 在表象中的矩阵形式,注意到与反对易,则与也只能是矩阵。
令
()
由于是厄米矩阵, 也是厄米矩阵,则
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则
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电子自旋算符和自旋函数
又由于
则
即
则
若取,则
()
()
由对易关系得
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综上所述
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电子自旋算符和自旋函数
称为泡利矩阵。因为任何的厄米矩阵都可表示为单位矩阵和三个矩阵的线性组合,所以泡利矩阵非常有用。
现在求电子自旋算符对应的波函数。在表象中,由本征函数
()
即
()
()
电子自旋算符和自旋函数
所以, 的本征函数为
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自旋算符用矩阵表示后,自旋算符的任一波函数也可表示为的矩阵
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()
包含自旋在内的电子波函数可表示为
表示在时刻,在点周围单位体积内找到电子的几
率。其中和分别表示在点周围单位体积内
找到自旋和的电子的几率。
电子自旋算符和自旋函数
电子波函数的归一化必须同时对空间积分和对自旋求和,即
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由给出的几率密度为
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