克莱姆法则.ppt

克莱姆(Cramer)法则
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§ 克莱姆(Cramer)法则
其解:
记
系数行列式
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讨论 n 个方程、 n 个未知量的线性方程组的解
一、非齐次线性方程组
系数行列式:
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用常数项列替换 D 的第 j 列,其余列不变。
记
6
9
11
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(克莱姆法则)()
定理的结论有三:
1° 有解
2° 唯一解
3° 解的形式
思考:若D=0 呢?
第三章给出答案:可能无解,可能有无穷多个解!
对于方程组(1),若
有唯一解,且
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证明思路:
1° 验证
满足各方程(存在性);
2° (1)的解定能表成形式
(唯一性)。
所用结果:
证
1° 将 Dj 按第 j 列展开
代入第1个方程的左端
将
4
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左=
(证=b1)
( )
D按第1行展开
=0
=0
满足第1个方程
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类似验证第2,…,n个方程也满足。
是方程组(1)的解。
2° 由1°知,(1)有解,
a11x1
+a12x2
a1nxn
+…+
=b1
a21x1
+a22x2
a2nxn
+…+
=b2
an1x1
+an2x2
annxn
+…+
=bn
……
用D的第j列元素的代数余子式乘两边
Anj
A2j
A1j
A1j
这证明了(1)有解。
A1j
A1j
A2j
A2j
A2j
Anj
Anj
Anj
对应相加整理
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丑贿黍竖解铜僵藻封滥鸭称贿娜备塌沾害吐距将抽釜涛团袜真侮萧俊椒冤克莱姆法则克莱姆法则
由定理4和定理5
证毕
点评:
(1) 一共要计算n+1个n阶行列式,计算量大;
不如用初等变换简单(第三章介绍)。
(2) 理论价值高于计算价值。
4
例()
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二、齐次线性方程组
齐次线性方程组一定有解(零解 xj=0),
现在讨论在什么条件下有非零解(感兴趣的)。

证
2° 由1°可得。
以后可证是充要的


4
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