小学数学奥数基础教程(四年级)--08.doc

小学数学奥数基础教程(四年级)
本教程共30讲
找规律(二)
整数a与它本身的乘积,即a×a叫做这个数的平方,记作a2,即a2=a×a;同样,三个a的乘积叫做a的三次方,记作a3,即a3=a×a×a。一般地,n个a相乘,叫做a的n次方,记作an,即
本讲主要讲an的个位数的变化规律,以及an除以某数所得余数的变化规律。
因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关,所以an的个位数只与a的个位数有关,而a的个位数只有0,1,2,…,9共十种情况,故我们只需讨论这十种情况。
为了找出一个整数a自乘n次后,乘积的个位数字的变化规律,我们列出下页的表格,看看a,a2,a3,a4,…的个位数字各是什么。
从表看出,an的个位数字的变化规律可分为三类:
(1)当a的个位数是0,1,5,6时,an的个位数仍然是0,1,5,6。
(2)当a的个位数是4,9时,随着n的增大,an的个位数按每两个数为一周期循环出现。其中a的个位数是4时,按4,6的顺序循环出现;a的个位数是9时,按9,1的顺序循环出现。
(3)当a的个位数是2,3,7,8时,随着n的增大,an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中a的个位数是2时,按2,4,8,6的顺序循环出现;a的个位数是3时,按3,9,7,1的顺序循环出现;当a的个位数是7时,按7,9,3,1的顺序循环出现;当a的个位数是8时,按8,4,2,6的顺序循环出现。
例1 求67999的个位数字。
分析与解:因为67的个位数是7,所以67n的个位数随着n的增大,按7,9,3,1四个数的顺序循环出现。
999÷4=249……3,
所以67999的个位数字与73的个位数字相同,即67999的个位数字是3。
例2 求291+3291的个位数字。
分析与解:因为2n的个位数字按2,4,8,6四个数的顺序循环出现,91÷4=22……3,所以,291的个位数字与23的个位数字相同,等于8。
类似地,3n的个位数字按3,9,7,1四个数的顺序循环出现,
291÷4=72……3,
所以3291与33的个位数相同,等于7。
最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同,等于5。
例3 求28128-2929的个位数字。
解:由128÷4=32知,28128的个位数与84的个位数相同,等于6。由29÷2=14……1知,2929的个位数与91的个位数相同,等于9。因为6<9,在减法中需向十位借位,所以所求个位数字为16-9=7。
例4 求下列各除法运算所得的余数:
(1)7855÷5;
(2)555÷3。
分析与解:(1)由55÷4=13……3知,7855的个位数与83的个位数相同,等于2,所以7855可分解为10×a+2。因为10×a能被5整除,所以7855除以5的余数是2。
(2)因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关,所以不能用求555的个位数的方法求解。为了寻找5n÷3的余数的规律,先将5的各次方除以3的余数列表如下:
注意:表中除以3的余数并不需要计算出5n,然后再除以3去求,而是用上次的余数乘以5后,再除以3去求。比如,52除以3的余数是1,53除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同。这是因为52=3×8+1,其中3×8能被3整除,