概率论与数理统计概念.doc

概率论与数理统计概念排列组合阶乘设n为自然数,则n的阶乘规定:排列选排列从n个不同的元素中取k个,有顺序的排列,对排列种数进行计数。从n开始k个数递减连乘,,,到共k个元素,与相比,少后面的项,所以除以。证明:第一个元素有n种选法;第一个元素选定以后,第二个元素有n-1种选法;......第k-1个元素选定后,第k个元素有n-(k-1)=n-k+1种选法。根据乘法原理,排列种数为全排列从n个不同的元素有顺序的排列,对排列种数进行计数。有重复的排列从n个不同的元素中有放回的取k个(放回抽样),按取出的顺序排列把k个球等概率的放到n个格子里用n个数字构成k位号码证明:第一个元素有n种选法;第一个元素选定以后,第二个元素有n种选法;......第k-1个元素选定后,第k个元素有n种选法。根据乘法原理,排列种数为应用时分清k和n,从k开始考虑各个元素怎样分配到n。环排列 k个元素的相对位置相同,算一种,所以除以k一个元素的位置固定,其他(n-1)个元素排列组合从n个不同的元素中取k个,不管顺序的合并成一组,对组合种数进行计数。取到k个相同的值,如考虑顺序共种情况,把这种情况算一种,所以除以常用公式 事件的关系运算名称符号图示含义A是B的子事件A发生,必然导致B发生和事件A和B至少有一个发生积事件或A与B同时发生差事件A发生而B不发生互不相容(互斥)事件A与B不能同时发生A与B中不包含相同的基本事件对立事件(逆事件)A与B中必然有一个发生,且只有一个发生。 (对立事件也是互不相容事件)ABC中至少有两个发生 ABC中不多于一个发生概率的性质和计算公式不可能事件的概率为零,必然事件的概率为1,但反之不真。条件概率B发生的条件下,A发生B作为样本空间,AB发生相当于占百分比乘法公式若A、B相互独立,则直接计算十分复杂,可以用下面的公式计算:若A、B、C相互独立时加法公式:若(A、B为互不相容事件),则:系统的可靠性:设系统由n个元件连接而成,={第i个元件正常工作}={系统正常工作}如果各元件能否正常工作是相互独立的,设串联时并联时若,则:全概率公式:若构成完备事件组(划分),且,则对任何事件A例题:有一批元件,其中一等品占95%,二等品占4%,三等品占1%,它们能工作5000小时以上的概率分别为90%,80%,70%。求:任取一个元件能工作5000小时以上的概率。贝叶斯公式:若构成完备事件组,且,则,例题:接上题,如果取得的元件可以工作5000小时以上,分别求它取自一等品,二等品,三等品的概率。贝努利概型在确定条件下,进行n次独立重复试验,每次试验只有两个相互对立的结果A和,设:,称这n次独立重复试验为贝努利概型。事件A恰好发生m次的概率为:事件A发生次数m介于m1和m2之间的概率为:事件A至少发生r次的概率为:事件A至少发生1次的概率为:随机变量的分布函数定义设X是一个随机变量,X的取值不超过实数x的概率是x的函数,称为X的概率分布函数:,概率计算公式:设(X,Y)是一个二维随机变量:,边缘分布函数为:性质, (或)单调非减:若,则右连续:从右侧趋于x时连续 等于在a点的跳跃高度。对于二维随机变量:离散型随机变量分布列,或对于二维随机变量(X,Y):,其边缘分布列为:分布函数 (小于的所有)重要的离散型随机变量分布分布X取值分布列期望方差两点分布两项分布泊松分布泊松定理设,当n充分大,且p很小时,令,有下列近似公式:,用于两项分布的近似计算。连续型随机变量概率分布概率密度称为概率密度,是理论分布曲线对应的函数。称为概率元,相当于离散型随即变量中的作用。二维连续随机变量的边缘概率密度为:计算重要的连续型随机变量分布分布X取值分布列期望方差正态分布标准正态分布01均匀分布指数分布