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最短路算法及其应用.docx最短路算廉及其应用【摘要】最短路问题是图论中的核心问题之一,它是许多更深层算法的基础。同时,该问题有着大量的主产实际的背景。不少问题从表面上看与最短路问题没有什么关系,却也可以归结为最短路问题。本文较详尽地介绍了相关的基本概念、常用算法及其适用范围,并对其应用做出了举例说明,侧重于模型的建立、思考和证明的过程,最后作出总结。【关键字】最短路【目录】一、 基本概念 21定义 22简单变体 23负权边 34重要性质及松弛技术 4二、 常用算法 51Dijkstra算法 52Bellman-Ford算法 73SPFA算法 9三、 应用举例 101例题1——货币兑换 102例题2——双调路径 123例题3——Layout ——网络提速 15四、 总结 19【正文】1定义乘汽车旅行的人总希望找出到目的地尽可能短的行程。如果有一张地图并在地图上标出了每对十字路口之间的距离,如何找出这一最短行程?一种可能的方法是枚举出所有路径,并计算出毎条路径的长度,然后选择最短的一条。然而我们很容易看到,即使不考虑含回路的路径,依然存在数以百万计的行车路线,而其中绝大多数是没必要考虑的。下面我们将阐明如何有效地解决这类问题。在最短路问题中,给出的是一有向加权图G=(VE),在其上定义的加权函数W:EtR为从边到实型权值的映射。路径P=(vo,V],......,Vk)的权是指其组成边的所有权值之和:1=1定义U到V间最短路径的权为min{w(p):w—>v}oo如果存在由創的通路如果不存在从结点U到结点V的最短路径定义为权w(p)= 的任何路径。在乘车旅行的例子中,我们可以把公路地图模型化为一个图:结点表示路口,边表示连接两个路口的公路,边权表示公路的长度。我们的目标是从起点出发找一条到达目的地的最短路径。边的权常被解释为一种度量方法,而不仅仅是距离。它们常常被用来表示时间、金钱、罚款、损失或任何其他沿路径线性积累的数量形式。2简单变体单目标最短路径问题:找出从每一结点v到某指定结点u的一条最短路径。把图中的毎条边反向,我们就可以把这一问题转化为单源最短路径问题。单对结点间的最短路径问题:对于某给定结点u和-找出从"到u的一条最短路径。如果我们解决了源结点为氏的单源问题,则这一问题也就获得了解决。对于该问题的最坏情况,从渐进意义上看,目前还未发现比最好的单源算法更快的方法。每对结点间的最短路径问题:对于每对结点u和u,找出从u到u的最短路径。我们可以用单源算法对每个结点作为源点运行一次就可以解决问题。3负权边在某些单源最短路问题中,可能存在权为负的边。如果图G(VE)不包含由源$可达的负权回路,则对所有veVv,最短路径的权的定义5($*)依然正确。即使它是一个负值也是如此。但如果存在一从s可达的负权回路,最短路径的定义就不能成立了。从s到该冋路上的结点不存在最短路径一一因为我们总可以顺着找出的“最短”路径再穿过负权冋路从而获得一权值更小的路径,因此如果从s到卩的某路径中存在一负权回路,我们定义=-00。图1含有负权和负权回路的图图1说明负的权值对最短路径的权的影响。每个结点内的数字是从源点$到该结点的最短路径的权。因为从s到a只存在一条路径(路径<s,a»,所以:5(s,d)=vv($,a)=3o类似地,从s到b也只有一条通路,所以:8{)=w($,o)+w(a,b)=3+(-4>-1。从s到c则存在无数条路径:<s,c>,<s,c,d,c>,<s,c,d,c,c,d,c>等等。因为冋路vc,d,c>的权为6+(・3)=3>0,所以从s到c的最短路径为vs,c>,其权为:5($,c)=5o类似地,从S到d的最短路径为<S,C,d>,其权为:〃(s,d)=w(s,c)+w(c,d)=1o同样,从s到e存在无数条路径:v$,匕匕几〉等等由于回路",壮>的权为3+(・6)=3v0,所以从s到e没有最短路径。只要穿越负权回路任意次,我们就可以发现从s到e的路径可以有任意小的负权值,所以:5(s,w)=—00类似地,〃($,/)=-°°因为g是从/可达的结点,我们从5到g的路径可以有任意小的负权值,则:结点h,j,i也形成一权值为负的回路,但因为它们从S不可达,因此5(5,/?)=5(5,/)=J)=00o一些最短路径的算法,例如Dijkstra算法,都假定输入图中所有边的权取非负数,如公路地图实例。另外一些最短路算法,如Bellman-Ford算法,允许输入图中存在权为负的边,只要不存在从源点可达的权为负的回路,这些算法都能给出正确的解答。特定地说,如果存在这样一个权为负的冋路,这些算法可以检测出这种回路的存在。4重要性质及松弛技术本文的算法所运用的主要技术是松弛技术,它反复减小每个结点的实际最短路径的权的上限,直到该上限等于最短路径的权