非线性方程的数值计算方法实验.docx

非线性方程的数值计算方法实验.docx非线性方程的数值计算方法实验郑发进20**********【摘要】在利用数学工具研究社会现象和自然现象,或解决工程技术等问题时,很多问题都可以归结为非线性方程f(x)二0的求解问题,无论在理论研究方面还是在实际应用中,求解非线性方程都占了非常重要的地位。综合当前各类非线性方程的数值解法,通过比较分析,二分法,迭代法,牛顿一拉夫森方法,迭代法的收敛阶和加速收敛方法,以上的算法应用对某个具体实际问题选择相应的数值解法。关键词非线性方程;二分法;迭代法;牛顿■拉夫森法;割线法等。一、实验目的通过本实验的学****应掌握非线性方程的数值解法的基本思想和原理,深刻认识现实中非线性方程数值的意义;明确代数精度的概念;掌握二分法、不动点迭代法、牛顿迭代法、割线法等常用的解非线性方程的方法;培养编程与上机调试能力。二、实验原理二分法:单变量函数方程:f(x)=0其中,f(x)在闭区间[a,b]上连续、单调,且f(a)*f(b)<0,则有函数的介值定理可知,方程f(x)二0在(a,b)区间内有且只有一个解二分法是通过函数在区间端点的符号来确定F所在区域,将有根区间缩小到充分小,从而可以求出满足给定精度的根F的近似值o下面研究二分法的几何意义:设^=1,/?]二b,区间中点兀产吗;勺及/(X)),若/(坷)二0,则Xi”若f(°])*f(西)〈0,令a2=a[9b2=xx,则根兀上[色‘优]中,这样就得到长度缩小一半的有根区间[6/2,/?2L若f($)*f(兀J〈0,令勺詁,仇二勺,则根兀工[他,中,这样就得到长度缩小一半的有根区间[色,$],即f(色卅(方2)〈0,此时bp二匕■,对有根区间[色,仇]重复上述步骤,即分半求中点,判断中~~2~电处符号,则可得氏度有缩小一半的有根区间[色,%],如图所示:新重复上述过程,第n步就得到根F的近似序列&”}及包含F的区间套,如H:[«!,/?!1n[a2,b2]z)....[色,仇]Z)...⑵f(an)f(bn)<O,xE[afl,bn](3)an~bn=^(6fn_j-hn_})=•••=⑷耳=";%,且1八£七牛^ (n二1,2,3・・・..)显然1ini£,且兀以等比数列的收敛速度收敛于F,因此用二分法求f(x)=0的实根T可以达到任意指定精度。迭代法:对给定的方程将它转达换成等价形式:^'^0给定初值%由此來构造迭代序列和■貝话上72■…,如杲迭代法收敛,即夙%-辄fCQp,有4-祕O则a就是方程加・0的根。在计算中当I也厂无|小于给定的精度控制量时,取ff=J«为方程的根。牛顿迭代法^设方程f(x)二0在其根F的某个领域U(x,5)内有一阶连续导数,且fO工0。求f(x)=0的根首先要将f(x)=0转化为等价形式兀=0(兀),并使卩(x)满足不动点迭代的一般理论。于是我们令0(x)二x+h(x)f(x),可由0 '(西)二0来确定h(x)的结构,根据“(x)=l+h,(£)f(x)+h(/)f,(xl)=l+h(x*)f,(x*)=0可得h(x)=-l/f,(x),由于f'(x)HO,且f'(x)连续,因此当h(x)二-1/f'(X)时,h‘(xl)二0,即令0(x)二x-f(x)/f"(x), 从而有迭代格式畑_H皿) (k-0,1,2,・・・.・)广(耳)由于兀],兀2,兀3……•都在U领域里,从而当B比较小时,可用r(xo)可近似代替f'(无),仏厂"一g,此方法称为牛顿迭代法。/Uo)割线法:设无,%为方程f(x)=0的两个近似根。用差商得:f(“)・f(s)/-和,代替牛顿迭代公式中的导数f(xj,于是得到如下的迭代公式:母+1二忑下面研究割线法的几何意义:经过点(xk 及点(xk_x,f(xk_x))两点作割线,其点斜式方程为:Y二f(耳厂'(")—,(*|)(兀一耳),其零点为x=®・ —(忑―"_J无一无T .fg-.fg)把X用无+1表示即得到迭代格式,需要两个初值此割线与X轴交点的横坐标就是新的近似值母T,如图所示。三、实验内容(一)、:。:已知初值,时间和末值,求解汇率。:已知运动方程求解运动时间和距离。(二)、实验题目1•(尽肯能多)近似值,答案精确到小数点后12位。同时,构造每个函数的图和直线y二x來显示所有不动点。(d)S(x)=xx-cos(x),求解满足全部现金A为500000美元的汇率T的近似值(精确到小数点后10位)。〉,=y(r)=9600(1-k小)-480r兀二厂⑴二2400(1—厂以)求当撞击地面时经过的时间,精确到小数点后10位。求水平飞行行程,精确到小数点后10位。U