向量场++梯度+散度+旋度+与拉普拉斯算子.doc

向量场梯度散度旋度与拉普拉斯算子向量场梯度散度旋度与拉普拉斯算子常微分方程的发展史由微分方程这名词可以领悟到其特点:方程中含有未知函数的导数或微分。微分方程以方程的形式描述了未知函数与其导数之间的关系。如果方程中的未知函数是一元函数,则称之为常微分方程。如果方程中的未知函数是多元函数,则方程中出现偏导数,则称之为偏微分方程。本课程只讨论常微分方程,又简称微分方程或方程。对于数学及其应用而言,微分方程的重大意义在于:许多物理问题与技术问题的研究,都可以划归为微分方程的求解问题。诸如电子计算机及无线电装置的计算,弹道的计算,飞机在飞行中的稳定性的研究,以及化学反应过程的稳定性的研究等等,都可以化为微分方程的求解问题。某些物理规律也可以用微分方程描述。微分方程理论的基本问题是研究满足这个微分方程的函数,即微分方程的解。微分方程的理论使得人们有可能充分、全面地表达出方程解的性质。这在自然科学的应用中有其重要意义,微分方程的理论也提供了求解数值解的方法。微分方程的起源可追溯到十七世纪末,为了解决物理问题,天文学问题,微分方程几乎是与微分、积分同时产生。数学家曾借助于微分方程从理论上得到了行星运动规律,从而验证了德国天文学家刻卜勒由实验而得到的推想。天文学家也曾借助于微分方程,在海王星被观测到之前,推算出它的方位。而今微分方程已成为研究自然的强有力的工具。本章所讲的常微分方程初步,主要是介绍几类微分方程的初等积方法,即十七世纪的后二十五年至十八世纪所得到的求限于微分方程历史的第一个时期:解微分方程解的成果。象微积分在十七世纪后期与十八世纪前期一样,常微分方程最早的著作出现在数学家们彼此的通信中,或者出现在那些常常重登书信中建立或说明的结果的刊物中。荷兰数学家、物理学家、天文学家惠更斯在1693年的《教师学报》中明确提出微分方程。雅各?伯努利是利用微积分求常微分方程问题分析解的先驱者之一。在1690年,他发表的关于等时问题的解答中就引入了微分方程,两端积分,从而得到了,在1691年6月的《学报》中他又给出了用微积分方法建立悬链线问题的解答。在同年他的微积分教本中又对这个问题进行了完善的阐述。在建立微分方程(其中s是由定点到悬链线上任一点间的弧长,c依赖于弦在单位长度内的重量)的基础上,导出其解。莱布尼茨提出了常微分方程的变量分离法。对于形如的方程,化为,在两边积分,从而得到方程的解,并于1691年函告惠更斯。同年,他还给出的求解方法。令,并代入方程,使得方程变量可以分离。约翰。伯努利在1694年的《教师学报》中作了更加完整的说明。莱布尼茨在1694年利用变量替换法给出了的解。雅各?伯努利在1695年的学报中提出了伯努利方程。的问题征解。莱布尼利用变量替换,可以把方程化为关于未知函数及其导函数茨1696年给出证明:都是一次的线性方程。约翰?伯努利首先提出了全微分方程的概念,即方程中的为某个函数的全微分的情形。欧拉在1734~1735年的论文中曾给出方程为全微分方程的条件。如果某一微分方程不是全微分方程,但若存在一个函数,将其同乘方程两端后所得方程为全微分方程,则称此为所给方程的积分因子。积分因子的概念也是欧拉于1734年~1735年的论文中首次提出,论文中欧拉确立了可采用积分因子的方程类型。并证明了,如果知道了一个常微分方程的两个积分因子,令它们之比等于常数,则可得到该微分方程的一个解。克雷罗在他1739年的文章中也独立地引进了积分因子概念,提出方程为全微分方程的充分必要条件是,并在1740年的论文中对此加以理论化。一般地说,人们认为求解一阶微分方程的所有初等方法的探讨工作于1740年基本完成。二阶常微分方程于1691年在物理问题的研究中首次出现。雅各?伯努利研究船帆在风力下的形状,即膜盖问题时,引入二阶方程,其中s为弧长。在其1691年所著的微积分教科书中给出了这个问题的解答,证明了它与悬链线问题在数学上是相同的,1734年12月丹尼尔?伯努利(DanielBernoulli1700~1782年)在给欧拉的信中宣称,他解决了一端固定在墙上,而另一端自由的弹性横梁的横向位移问题:,其中k为常数,x是横梁上距自由端的距离,y是在x点的相对于横梁未弯蛆位置的垂直位移。欧拉在1735年6月的回信中说,他也已发现这个方程,但对于这个方程,除了用级数外无法积分。他确实得到了四个独立的级数解,这些级数代表圆函数和对数函数,而欧拉在当时并不了解这一点。四年以后,即1739年9月欧拉在给约翰?伯努利的信中指出,上述方程的解可以表示为其中b由条件:"当x=l时,y=0"来确定。从而弹性问题促使欧拉考虑求解常系数一般线性方程的数学问题。在上面提及的1739年9月欧拉给约翰?伯努利的信中,欧拉说他已取得了成功。在1743年他的著作中,他又研究了线性常系数齐次微分方