皮亚诺型余项.doc

皮亚诺型余项目录摘要…………………………………………………………………………关键词………………………………………………………………………Abstract………………………………………………………………Keywords…………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………参考文献……………………………………………………………………泰勒公式的证明内容摘要:泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容,不仅在理论上占有重要的地位,也在微分学理论中最一般的情形是泰勒公式,它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系,将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。泰勒公式的余项有两种:一种是定性的,例如我们可以使用泰勒公式,佩亚诺型余项;另一种是定量的,如拉格朗日余项、柯西型余项等。来很好的解决有关高价函数导数问题。泰勒公式的收缩适度很好的锻炼了学****数学的思维,让我们在学****的时候有更广的思维空间。关键字:泰勒公式皮亚诺余项拉格朗日引言泰勒公式是数学分析中一个重要的内容,微分学理论中最一般的情形是泰勒公式,它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系,将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式,来很好的解决某些问题,如求某些极限,确定无穷小的阶,证明等式和不等式,判断敛散性以及解决中值问题等。本文着重论述泰勒公式在极限、近似、积分运算以及中值问题这四个方面的具体应用方法。,如果函数在点0可导,则有即在点附近,用一次多项式逼近函数时,其误差为的高阶无穷小量。然而在很多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为n),其中n为多项式的次数,为此,我们考察任一n次多项式。.(1)逐次求它的点处的各阶导数,得到,即由此可见,多项式的各项系数由其点的各阶导数值所唯一确定。对于一般的函数,设它在点存在直到n阶的导数。由这些导数构造一个n次多项式(2)称为函数在点处的泰勒多项式。的各项系数称为泰勒系数。由上面对多项式系数的讨论,易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至n阶导数值,即,k=0,1,2,。。。,n(3)下面将要证明,即以(2)式所示的泰勒多项式逼近时,其误差为关于的高阶无穷小量。,则有,即(4)证设现在只要证由关系式(3),所以在点的某领域内存在n-,当且,允许连接使用洛必达法则n-1次,得到定理所证的(4)式称为函数在点处的泰勒公式,称为泰勒公式的余项,形如的余项称为皮亚诺型余项。所以(4)又称带有皮亚诺型余项的泰勒公式。(i)在[a,b]上连续;(ii)在(a,b)内可导;(iii)和不同时为零;(iv),则存在,使得证作辅助函数易见F在[a,b]上满足罗尔定理条件,故存在,[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在(a,b)内存在(n+1)阶导数,则对任意给定的x,,至少存在一点,使得(5)证作辅助函数所证明的(0)式即为或不妨设x0<x,则F(t)与G(t)在上连续,在内可导。且又因F()=G()=0,所以由柯西中值定理证明得其中(5)式同样称为泰勒公式,它的余项为