积分变换法求解定解问题.ppt

积分变换法求解定解问题**,可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数,直至化为常微分方程,这就使问题得到大大简化,再进行反演,(也包括积分方程、差分方程等),用经典的分离变量法求解,就显得有些烦琐和笨挫,而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法,并且显得具有固定的程序,,有时还能得到有限形式的解,而这往往是用分离变量法不能得到的.*特别是对于无界或半无界的定界问题,用积分变换来求解,最合适不过了.(注明:无界或半无界的定界问题也可以用行波法求解)用积分变换求解定解问题的步骤为:第一:根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换;对于自变量在内变化的定解问题(如无界域的坐标变量)常采用傅氏变换,而自变量在*内变化的定解问题(如时间变量):对方程取积分变换,将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程;第三:对定解条件取相应的变换,导出常微分方程的定解条件;第四:求解常微分方程的解,即为原定解问题的变换;第五:对所得解取逆变换,最后得原定解问题的解.* 傅里叶变换法解数学物理定解问题用分离变量法求解有限空间的定解问题时,所得到的本征值谱是分立的,,用分离变量法求解定解问题时,所得到的本征值谱一般是连续的,,对于无限空间的定解问题,(含一维半无界空间)的定界问题的基本方法,并给出几个重要的解的公式.*(假定:函数及其一阶导数是有限的,,读者可以比较行波解法和傅氏解法)*【解】应用傅里叶变换,即用遍乘定解问题中的各式,并对空间变量x积分(这里把时间变量看成参数),按照傅里叶变换的定义,我们采用如下的傅氏变换对:*简化表示为对其它函数也作傅氏变换,即为*于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题上述常微分方程的通解为*代入初始条件可以定出这样