积分变换法求解定解问题.ppt

积分变换法求解定解问题
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积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法．对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到定解问题
（假定：函数
及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．
这一定解问题在行波法中已经介绍，
读者可以比较行波解
法和傅氏解法）
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【解】
应用傅里叶变换，即用
遍乘定解问题中的各式，
并对空间变量x积分（这里把时间变量看成参数），按照傅
里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对：
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简化表示为
对其它函数也作傅氏变换，即为
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于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题
上述常微分方程的通解为
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代入初始条件可以定出
这样
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最后，上式乘以
并作逆傅氏变换．应用延迟定
理和积分定理得到
这正是前面学过的的达朗贝尔公式.

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为了说明傅氏变换法解非齐次方程特别简便，
我们特举一强迫弦振动问题：
求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题
【解】
相同的方法，作傅氏变换
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我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方程的问题
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上述问题的解为
利用傅氏变换的性质有
故得到
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代入得到
即得
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热传导问题
. 3 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
【解】 作傅氏变换，
定解问题变换为
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常微分方程的初值问题的解是
再进行逆傅里叶变换，
交换积分次序
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引用积分公式
且令
以便利用积分公式，即得到
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求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题
【解】
利用
对定解问题作傅氏变换，得到常微分方程的定解问题
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上述问题的解为
为了求出上式的逆变换，利用下面傅氏变换的卷积公式，即
若
则
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而积分
即为
最后得到定解问题的解为
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稳定场问题
我们先给出求半平面内
拉普拉斯方程的第一
边值问题的傅氏变换
系统解法（读者可以与格林函数解法进
行比较）
例 定解问题
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【解】 对于变量
作傅氏变换，有
定解问题变换为常微分方程
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因为
可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为
因为
，故得到
常微分方程的解为
设
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根据傅氏变换定义，
的傅氏逆变换为
再利用卷积公式
最后得到原定解问题的解为
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容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式．
如果定解问题为下列第二边值问题
【解】 令
即
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容易得到
满足定解问题为
则根据上述稳定场第一边值问题公式
故得到
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拉普拉斯变换解数学物理定解问题
由于要作傅氏变换的函数必须定义在
上，故当
我们讨论
半无界问题时，就不能对变量
作傅氏变换了．
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由此本节介绍另一种变换法：拉普拉斯变换法求解定解问题．
无界区域的问题
求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
()
【解】 先对时间
作拉氏变换
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由此原定解问题中的泛定方程变为
对方程()
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以及卷积定理
得方程()的解为
()
()式作拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表，
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