正整数方根余因式唯一性定理证明费马猜想.doc

正整数“方根余因式”唯一性定理证明费马猜想(1979年——2007年)王德忱摘要根据方根存在定理及方根性质定理证明正整数“方根余因式”唯一性定理,推论非负实数方根可逆性定理,并定义z=r或z–r=0为方根等式则zn=rn或(z–r)n=0n为“逆n次方根式”。假设zn=xn+yn当n>2时有正整数解即是“非平凡解”,通过因式分解得到“z方根因式”及“z方根余因式”;此“z方根余因式”与“z方根因式”的“逆n次方根式”的“z方根余因式”必是唯一性的,经判断两者唯一性矛盾,于是“z方根因式”为zn=xn+yn的“非平凡解”不成立,从而证明zn=xn+yn没有正整数解。关键词费马猜想巧妙证明方根因式方根余因式“方根余因式”唯一性逆n次方根式法国数学家费马于1637年在巴契校订的希腊数学家丢番图的《算术》第2卷第8命题“把一个平方数分为两个平方数”旁边写道:“把一个立方数分为两个立方数,一个四次幂分为两个四次幂,或一般地把一个高于二次的幂分为两个同次的幂,这是不可能的。关于这一点,我确信已发现了一种巧妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”为此,370年来全世界许多优秀数学家做出了艰苦不屑的努力,都没能找到这一“巧妙证法”。1997年英国数学家怀尔斯在他人高等数学研究取得重大进展的成果基础之上,历时7年用130多页稿纸非常繁难地证明了这一猜想成立,但深奥难懂,仅仅使极少数人能够看明白。即然“费马猜想”为“巧妙证法”,所以只有实现费马那个时代数学水平初等方法奇巧绝妙的证明才是最终完结“费马猜想”。“方根余因式”.“费马猜想”性质分析费马猜想:“一般地把一个高于二次的幂分为两个同次的幂,这是不可能的”,即设当n>2时zn=xn+yn没有正整数解。本不定方程zn=xn+yn是方根问题,其中x、y两个数是0或一个数是0或x=y关于“z”的n次方根解因为简单称为“平凡解”,x≠y关于“z”的n次方根正整数解称为“非平凡解”。根据方根存在定理:“对于任何非负实数a,存在唯一的非负实数r,它的n次幂等于a,即rn=a”;又根据方根性质定理:“在实数集里,正实数(非0非负实数)开任何次方均只有唯一的一个正的方根,0(0非负实数)开任何次方均等于0”;因为非负实数存在这两种情形“非0非负实数”或“0非负实数”,所以对“费马猜想”的表述形式也必有相应的两种情形:一是“非0非负实数”方根存在,这正是一般认为的费马猜想问题,当n>2时zn=xn+yn=rnz=n=rz=r(非0非负实数方根)没有正整数方根解。但是,这一形式费马的猜想是不准确的,本文将证明:把一个二次幂直接分为两个同次的幂,也是不可能的;即当n=2时z2=x2+y2=r2没有直接正整数方根解。二是“0非负实数”方根存在,这却是费马没有猜想到的问题:一般地一个高于二次的幂与两个同次幂之和的差为0的同次幂,这是不可能的;即设当n>2时zn-(xn+yn)=(z–r)n=0没有正整数解。因为存在两个相同的正整数之差等于0(z–r=0)的情形,所以必存在zn-(xn+yn)=0等式关于“0的n次方”的方根n=0。如果把zn-(xn+yn)=0认为只是“非0非负实数”简单的变形方根等式zn-(xn+yn)=zn-rn=0,那么就忽略了zn-(xn+yn)=(z–r)n=0的重根形式,所以当n>2时存在zn-(xn+yn)=(z-r)n=0n=z–r=0z–r=0(0非负实数方根)没有正整数重根解。但是,最后将特别证明当n=2时z2-(x2+y2)=(z–r)2=0有正整数重根解,是著名的勾股弦数公式求解原理。科学的认识、准确的理解“费马猜想”是解决这一问题的关键。z2-(x2+y2)=0有正整数重根解可以转化为表面上z2=x2+y2方根解并有一个正整数方根,也就是zn-(xn+yn)=0与zn=xn+yn形式上可以互相转化二者等价从数学公理上是不可怀疑的;但其不同的数学等式形式却存在不同的数学意义,即“z=n=r”与“n=z–r=0”体现完全不同的方根性质,这正是“费马猜想”隐含着似同而非令人混淆莫辨的难点所在。必须全面分析这两种方根存在形式所决定的方程结果,以求得方程应有的正确的“解”及其“解”的性质。根据“方根存在定理”及“方根性质定理”推论,存在“非负实数方根可逆性定理”:对于任何一个非负实数r,存在另一个相应的唯一非负实数rn,它的唯一非负实数n次方根等于r,即n=r,所以任何一个非负实数均可认定是另一个相应唯一非负实数的n次方根。由这个推论可以给出一个非负实数“逆n次方根式”的定义:“z=n=r”与“n=z–r=0”两种方根形式z=r或z–r=0可认定是方根等式,存在zn=rn可变形为zn-rn=0或(z–r)n=0n成立。zn-rn=0为“逆n次方根式”时,是任