波利亚怎样解题表.doc

波利亚怎样解题表波利亚的怎样解题表陕西师范大学罗增儒罗新兵,乔治?波利亚乔治?波利亚(ePolya,1887,1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家(在解题方面,是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律,亦译为探索法)现代研究的先驱(由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响,在他93岁高龄时,还被,,,,(国际数学教育大会)聘为名誉主席(,怎样解题表波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的,这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调,同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上(波利亚在风靡世界的《怎样解题》(被译成14种文字)一书中给出的“怎样解题表”,正是一部“启发法小词典”(,(,怎样解题”表的呈现弄清问题未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知,条件是否充第一,你必须分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?弄清问题画张图,引入适当的符号(把条件的各个部分分开(你能否把它们写下来?拟定计划第二,找出已你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?知数与未知数你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?之间的联看着未知数,试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题(系(如果找不这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的问题(出直接的联你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它,你是否系,你可能不应该引入某些辅助元素?得不考虑辅助你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?问题(回到定义去(你应该最如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题(你能不能想出一个终得出一个求更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解的计划解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分(这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话,你能不能改变未知数或数据,或者二者都改变,以使新未知数和新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念?实现计划实现你的求解计划,检验每一步骤(第三,实行你的计划你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?回顾你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子第四,验算所得到的解(看出它来?你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?下面是实践波利亚解题表的一个示例,能够展示波利亚解题风格的心路历程,娓娓道来,栩栩如生(,(,怎样解题”表的实践例给定正四棱台的高h,上底的一条边长a和下底的一条边长b,求正四棱台的体积F((学生已学过棱柱、棱锥的体积)讲解第一,弄清问题(问题1(你要求解的是什么?要求解的是几何体的体积,在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来(图1)(问题2(你有些什么?一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h;另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式,并积累有求体积公式的初步经验(把已知的三个量添到图示处(图2),就得到新添的三个点a、b、h;它们与F之间有一条鸿沟,象征问题尚未解决,我们的任务就是将未知量与已知量联系起来(第二,拟定计划(问题3(怎样才能求得F?由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式,而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们,棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”,从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的(如果知道了相应两棱锥的体积B和A,我们就能求出棱台的体积,,,,,(?我们在图示上引进两个新的点A和B,用斜线把它们与F联结起来,以此表示这三个量之间的联系(图3,即?式的几何图示)(这就把求F转化为求A、B(图3问题4(怎样才能求得A与B?1依据棱锥的体积公式(V,,,),底面积可由已知条件直接求得,关键是如何求出两个棱锥的3高(并且,一旦求出小棱锥的高x,大棱锥的高也就求出,为,,,(1我们在图示上引进一个新的点x,用斜线把A与x、,连结起来,表示A能由a、,得出,A,,3122,;类似地,用斜线把B与b、,、,连结起来,表示B可由,、,、,得出,,,,(,,,)3(图4),这就把求A、B转化为求x(图4问题5(怎样才能求得x,为了使未知数x与已知数a、,、,联系起来,建立起一个等量关系(我们调动处理立体几何问题的基本经验,进行“平面化”的思考(用一个通过高线以及底面一边上中点(图5中,点Q)的平面去截两个棱锥,在这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、x联系起来(转化为平面几何问题),由?,,,??,,,得12图5xa?,xhb,这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解(解方程?,便可由a、b、