数值积分和数值微分教学PPT课件.pptx

数值积分与数值微分1第四章数值积分与数值微分/*NumericalIntegrationAndDerivation*/数值积分概论牛顿-、代数精度、—Leibniz公式f(x)是一张数据表原函数很复杂,不便于计算一些点上函数值的线性组合数值积分与数值微分3数值求积的基本思想基本思想:用被积函数在积分区间[a,b]上的某些点xk(k=0,1,2,…)处的函数值的线性组合作为定积分的近似值式中xk称为求积节点;Ak称为求积系数,,而不依赖于被积函数f(x)特点将积分求值问题归结为被积函数值的计算机械求积数值积分与数值微分4定义1如果求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成立,但对于m+/*AlgebraicPrecision*/不准确成立,()数值积分与数值微分5f(x)abf(a)f(b)解:代入f(x)=1:=代入f(x)=x:=代入f(x)=x2:代数精度=1例2:考察其代数精度。截断误差数值积分与数值微分6代数精度的应用:构造求积公式解:3h=A0+A1+A2h2=0+A1h+A22h9h3=0+A1h2+A24h229故求积公式的形式为解之得A0=h,A1=0,A2=f(x)dxf(0)+f(2h)3h49h43h0公式至少具有2次代数精度;例3试构造形如f(x)dxA0f(0)+A1f(h)+A2f(2h)的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,(x)=1,x,x2均准确成立,则有814而当f(x)=x3时,公式的左边=h4,右边=18h4,公式的左边,,试确定系数,,得当时,得令分别代入求积公式使它精确成立当时,得解得,于是当时,而上式右端为,x0<x1<…<xnb,且已知函数f(x)在这些节点的值f(xk)(k=0,1,…,n),Ak由决定,与无关。节点f(x)/*IntegrationFormulaofInterpolationType*/数值积分与数值微分9定理1求积公式至少n次代数精度的充要条件:求积公式是插值型充分:插值型n次代数精度必要:n次代数精度插值型截断误差n次多项式函数f(x)的插值多项式就是函数本身P(x)=f(x)()其中为不依赖于的待定参数,当是次数小于等于的多项式时,,,即求积公式精确成立.()当时,代数精度为m的求积公式余项的求法