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第卷第期数学的实践与认识..
年月
一阶非线性变时滞微分方程的振动性
张慧芬, 李妍
.“西大学数学科学学院, 山西太原
.大同大学数学与计算机科学学院,山西大同
摘要: 考虑一阶非线性变时滞微分方程一,,利用其线性近似方程一,
的振动性,.
关键词: 时滞微分方程;弱递推函数;振动性
引言
振动理论是微分方程定性理论的一个重要分支,
微分方程振动理论已有长足发展,
国内外学者的广泛关注,见—
的一个重要内容,其基本方法可见,.近年来,新的研究结果不断发表,如在中唐先华
与瘐建设考虑了一阶非线性中立型时滞微分方程
一~ —一

利用线性化振动的方法,
都是自治微分方程,,在中,
将线性化振动的方法推广到非自治时滞微分方程,考虑了一阶非线性时滞微分方程
一,.￡一
其中,∈一,×,厂∈× ~ ,,且对所有∈都有,一,其
中。。.借助于该方程的线性近似微分方程
一,~
得到了方程的线性化振动的充分条件.
本文考虑如下一阶非线性变时滞微分方程
一,
其中,/∈× ~ ,,且满足, ,∈,这里。。,是一个单
调非减的连续函数,且,一—×.利用方程的线性近似方程
一,￡
其中。厂表示厂关于第个变量的偏导,得到了方程所有解振动的一个充分条件,推广
了文献中的结果.
主要结果
收稿日期:——
基金项目:山西省自然科学基金;大同大学基金
数学的实践与认识卷
关于方程解的振动性的定义可见文献—,.
定义一个连续函数:,一尺称为一致正的,如果存在,使得
. , ≥
定义称连续函数:尺一是弱递推的,如果存在中一个趋于无穷的序列
。使得一.
首先,考虑如下线性方程
一￡
其中,:,一尺一致正的,∈,。。,满足一.
引理设:,一一致正的函数,￡三三且存在,使得一,.成
。,。。。上的一个正解,则
一一——一㈣
,三三
证明由一致正以及是的一个正解可知. ,一
,从而单调减少,.—知专


上式从十吾到积分,有
一号件专。
利用的单调性并注意到—一号专,就有
岳【【专
同样,由式两边从到积分,可得
.号岳
结合,两式,可得

一
引理证毕.
∈,使
得—是弱递推的,有界且函数序列在,中逐点收敛于连续函数卢,
即
卢一, ,
如果“极限方程”
.一一
的所有有界解振动,则方程的所有解振动.

期张慧芬,等:一阶非线性变时滞微分方程的振动性
口。口,使得当。时, .定义
: , ∈Ⅳ⋯
其中是满足的非负序列,由