初中三角形中做辅助线的技巧及典型例题.doc

三角形中做辅助线的技巧口诀:三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线,常向两端把线连。线段和差及倍半,延长缩短可试验。线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。由角平分线想到的辅助线口诀:图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种。①从角平分线上一点向两边作垂线;②利用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线;其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线(一)、截取构全等如图1-2,,平分∠,平分∠,点E在上,求证:。已知:如图1-4,在△中,∠2∠平分∠,求证:分析:此题的条件中还有角的平分线,在证明中还要用到构造全等三角形,此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的,在长的线段上截取短的线段,来证明。试试看可否把短的延长来证明呢?(二)、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如图2-1,已知>,∠∠。求证:∠∠180 分析:可由C向∠的两边作垂线。近而证∠与∠B之和为平角。已知如图2-3,△的角平分线、相交于点P。求证:∠的平分线也经过点P。分析:连接,证平分∠即可,也就是证P到、的距离相等。练****4∠∠15 ,,⊥,如果4,则():如图2-6,在正方形中,E为的中点,F为上的点,∠∠。求证:。:如图2-7,在△中,∠90 ⊥,垂足为D,平分∠交于F,过F作交于H。求证。(三):作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交,则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。(如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交)。已知:如图3-1,∠∠,>⊥于D,H是中点。求证:()分析:延长交于点E,则可得全等三角形。问题可证。:如图3-2,,∠90 ,为∠的平分线,⊥.求证:2。分析:给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形。:如图3-3在△中,、分别∠的内、外角平分线,过顶点B作,交的延长线于F,连结并延长交于M。求证:。分析:由、是∠内外角平分线,可得⊥,从而有,所以想到利用比例线段证相等。已知:如图3-4,在△中,平分∠,,⊥交延长线于M。求证:()分析:题设中给出了角平分线,自然想到以为轴作对称变换,作△关于的对称△,然后只需证,另外由求证的结果(),即2,也可尝试作△关于的对称△,然后只需证即可。练****已知:在△中,5,3,D是中点,是∠的平分线,且⊥于E,连接,求。已知、分别是△的∠的内角与外角的平分线,⊥于F,⊥于E,连接分别交、于M、N,求证(四)、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。BDCA例1如图,>,平分∠,且,求证:∠∠180。ABECD例2如图,∥,、分别平分∠各∠,求证:。练****如图,∠2∠A,2。求证:△是直角三角形。:如图,2,∠1=∠2,,求证:⊥、是△的角平分线,∠60°,求证::如图在△中,∠90°,,是∠的平分线,求证:二、由线段和差想到的辅助线口诀:线段和差及倍半,延长缩短可试验。线段和差不等式,移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:1、截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;2、补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如:已知如图1-1:D、E为△内两点,求证