一轮复习苏教版 运用空间向量求角 学案.doc

一轮复习苏教版 运用空间向量求角 学案.doc第二讲运用空间向量求角题型(一)运用空间向量求两直线所成的角主要考查用直线的方向向量求异面直线所成的角.[典例感悟][例1] 已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等,P为A1B上的点,且=λ,PC⊥AB.(1)求λ的值;(2)求异面直线PC与AC1所成角θ的余弦值.[解] (1)设正三棱柱的棱长为2,取AC中点O,连结OB,则OB⊥,OB,OC所在直线为x轴,y轴,过点O且平行AA1的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2),所以=(,1,0),=(0,-2,2),=(,1,-2).因为PC⊥AB,所以·=0,得(+)·=0,即(+λ)·=0,即(λ,-2+λ,2-2λ)·(,1,0)=0,解得λ=.(2)由(1)知=,=(0,2,2),cosθ==,所以异面直线PC与AC1所成角θ的余弦值是.[方法技巧],b的方向向量分别为a,b,其夹角为θ,则cosφ=|cosθ|=(其中φ为异面直线a,b所成的角).(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.[演练冲关](2018·无锡期末)如图,四棱锥P­ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=∠CBA=90°,PA=AB=BC=1,AD=2,E,F,G分别为BC,PD,PC的中点.(1)求EF与DG所成角的余弦值;(2)若M为EF上一点,N为DG上一点,是否存在MN,使得MN⊥平面PBC?若存在,求出点M,N的坐标;若不存在,:(1)以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),∵E,F,G分别为BC,PD,PC的中点,∴E,F,G,∴=,=,设EF与DG所成的角为θ,则cosθ==.∴EF与DG所成角的余弦值为.(2)存在MN,使得MN⊥平面PBC,理由如下:设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),∵=(0,1,0),=(1,0,-1),∴即取x=1,得n=(1,0,1),若存在MN,使得MN⊥平面PBC,则∥n,设M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2),则①∵点M,N分别是线段EF与DG上的点,∴=λ,=t,∵=,=(x2,y2-2,z2),∴且②把②代入①,得解得∴M,,N,使得MN⊥(二)运用空间向量求直线和平面所成的角考查用直线的方向向量与平面的法向量计算直线与平面所成的角.[典例感悟][例2] (2018·苏州暑假测试)如图,在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,且PA=AB=BC=AD=1,PA⊥平面ABCD.(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值;(2)棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°?若存在,求AE的长;若不存在,请说明理由.[解] (1)如图,以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A­xyz,则P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),从而=(1,0,-1),=(1,1,-1),=(0,2,-1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则即不妨取z=2,则y=1,x=1,所以平面PCD的一个法向量n=(1,1,2),此时cos〈,n〉==-,所以PB与平面PCD所成角的正弦值为.(2)设=λ(0≤λ≤1),则E(0,2λ,1-λ).则=(-1,2λ-1,1-λ),=(0,2λ,1-λ),由∠AEC=90°得·=2λ(2λ-1)+(1-λ)2=0,化简得,5λ2-4λ+1=0,该方程无解,所以棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°.[方法技巧]直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=.[演练冲关](2018·南通、泰州一调)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,且BQ=λBB1(λ≠0).(1)若λ=,求AP与AQ所成角的余弦值;(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°,:以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系