矩阵与它伴随矩阵的关系1.doc

摘要通过对矩阵和伴随矩阵的学****本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一些性质,如伴随矩阵的逆,行列式,转置,秩,,如两矩阵相似,;伴随矩阵;转置;可逆;行列式;秩;相似矩阵;正定矩阵1伴随矩阵的定义设,则它的伴随矩阵,,,,=另一方面,=,,,(为实数).证设,再设,那么为行列式中划去第行和第列的代数余子式阶行列式,其中每行提出公因子后,,由于两边取行列式得当不可逆时,,.,(1)式有所以即秩当秩从而秩又因秩所以至少有一个代数余子式从而秩于是秩当秩所以秩同理秩时,,可逆,用左乘(1)式两边可得(1)在(1)式中用换得(2)当秩时,则秩从而秩(3)综合(2)(3)两式,,,由当时,显然有即当则存在初等矩阵使得这里直接验算可知,若是任意初等矩阵,C是任意方阵,,,则,且的特征值又=,故为对称矩阵,,,,且都可逆,(4)又都可逆,对(4)取逆,则有即(5)其中再对(4)取行列式有(6)则由(1)(5)(6),且都可逆,,,则与有相同的特征多项式,特征根,行列式,迹,,且,都可逆,则与B不一定相似.(与B分别为与的原矩阵)证因为与的秩都是,所以与都有个原矩阵(,,其中分别是,的所有次方根.)设秩且有原矩阵,,:[1]张禾瑞,(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007,6.[2]李志慧,[M].北京:科学出版社,2001,6(7).[3][M].北京:高等教育出版社,2005,1(10).[4](第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003,7(1).TheRelationshipofMatrixandAdjointMatrixZhangRilian20091103344CollegeofMathematicsScience,MathematicsandAppliedMathematics,Class2009AdvisorXiangHuaAbstract:Thisarticlegivesadefinitionofadjointmatrixandsummarizessomeofitsproperties,adjointmatrixinverse,determinant,transp