第23讲 游戏必胜策略.doc

小升初面试第二阶段数学课程--游戏必胜的策略第一部分思维提升(45分钟)我国古代有一个“田忌赛马”的故事;齐王经常要求将军田忌和他赛马。规定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹,进行三场比赛,每场各出一匹马。每胜一场可得一千金。田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。但田忌的上等马要优于齐王的中等马,田忌的中等马要优于齐王的下等马。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意,叫田忌用下等马对齐王的上等马,上等马对齐王的中等马,中等马对齐王的下等马。结果,田忌先负一场然后连胜两场,反而赢了一千金。这个故事是对策的一个典型例子。他告诉我们:在竞争时,要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。利用它取得尽可能大的胜利,或在胜利无望的时候,也不至于输得太惨。这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科。下面我们就根据这个理论来想一想对策:例1、两个人轮流数数,每个人每次可以数1个、2个、3个,但不能不数。例如第一个数1、2,第二个接着往下数3,也可以数3、4,还可以数3、4、5,。如此继续下去,谁先数到100,谁就算胜。请试一试,怎样才能获胜?分析:要抢到100,、98或数97、98、99,无法数到100。如何才能抢到96呢?,得到一列数92、88、84、…、,然后当对方报a个数时(1≤a≤3)时,就报(4-a)个数,这样就能抢到这个数列中的上一个数,,第二个人都可以抢到4n(n=1、2…)因此第二个人就有必胜的策略。只有在第二个人产生错误时,第一个人才能获胜。思考:如果将100改为101或99,其他条件都不变,先数的人能否获胜呢?(是否还是抢4呢?)例2、有两堆火柴,一堆16跟,一堆11跟。甲乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆,但每次只能在某一堆中拿火柴,谁拿走最后一根谁取胜,问甲如何才能取胜?分析:这是另一类对策游戏。我们先考虑特殊情况。当两堆中的火柴根数相同时,后取者只要根据先取者的取法,在另一堆中取相同的根数,就能保证取到最后一根。对一般情况可以化为特殊情况。解:甲从16根的那堆中先取出16-11=5根,是两堆火柴根数相同。然后每次根据对手取得根数在另一堆中取相同的根数,是两堆火柴根数保持相等,直至取到最后一根火柴而获胜。说明:当乙先取时,如果他不知道获胜的策略,那么甲可以利用已的错误取胜。例3、一张3×10的长方形网格纸有30个小方格。甲乙两人轮流用剪刀沿方格纸直线剪一刀。(只能沿直线剪,否则为输)甲将一份分为两份,选送一份给乙;乙按要求剪一刀后,选一份再送给甲……如此重复进行,谁送给对方一个方格,谁就获胜。甲要想获胜,有何策略?分析:送给对方一个正方形的方格纸,这时后剪的都可以使图形再变成(更小的)正方形,知道取胜为止。解:甲先剪下7×3的一块,把3×3的那块送给乙。乙只能剪成1×3和2×3的两块。若送给甲1×3的那块,正好使甲剪下1×2而获胜。若送给甲2×3的那块,那么甲再一刀剪成1×2和2×2的两块,把2×2的送给乙。乙只可能切成1×2的两块。其中一块送给甲,甲还是获胜。同学们,这种方法你考虑到了吗?你会不会再遇到问题时,先动脑筋想办法。例4、甲乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数。游戏规则:不允许写黑板上已写过的数