对圆锥曲线相关问题的探讨.doc

对圆锥曲线相关问题的探讨431900湖北钟祥一中李玉春吴远红在高二课本中,有这样一道例题:已知圆的方程是x+y=r,求经过圆上一点M(x,y)的切线方程:不难得到切线方程是xx+yy=r当M(x,y)不在圆上,直线xx+yy=r和圆x+y=r是什么关系呢?用圆心到直线的距离公式也不难得出:当M在圆外时,直线和圆相交;当M在圆内时,直线和圆相离。如果进一步问:此时直线xx+yy=r和点M(x,y)有什么关系呢?当点M在圆外时,xx+yy=r是过M点作圆的两条切线的切点弦所在直线的方程,和OM垂直的一条直线;当点M在圆内时,如何定位xx+yy=r这条直线呢?首先由斜率关系得出直线xx+yy=r和OM垂直,直线到原点距离由||确定,当||越小,直线距离圆心越远;当||→r时,直线靠近切线,点M(x,y)和直线xx+yy=r有一种对应关系,这种对应关系有什么意义呢?让我们在圆锥曲线这个大范围内来讨论这个问题。以椭圆为例,当点M(x,y)在椭圆+=1上时,过点M(x,y)椭圆切线方程是+=1;当点M(x,y)在椭圆内部时,直线+=1与椭圆相离,点M(x,y)在椭圆外时,直线+=1与椭圆相交。定理:对椭圆及双曲线方程±=1与点M(x,y)对应的极线方程是±=1对抛物线y=2px;与点M(x,y)对应的极线方程是yy=p(x+x)这是高等几何中定理,是欧氏几何特殊情况笛氏坐标系下点和极线方程的形式。如对椭圆及双曲线,当极点为F(±c,0)处时,极线方程变为x=±,对抛物线y=2px,当极点为F(,0)时,极线是x=-,即焦点和准线的对应关系。极点和极线的对应关系,在解题中有什么作用呢? 如文[1]中所列定理:定点P(x,y)不在椭圆+=1(a>b>0)上,xy≠0,过点P的直线与椭圆相交于点M、N,过点M斜率是-的直线与椭圆相交于另一点R,则直线RN经过定点Q(,),由MR的斜率是-不难联想到P(x,y)对应的级线+=1,(RM和极线平行),由P(x,y)一定,其极线是定直线且一定和RN相交,又OP是定直线,则RN过的定点应是极线和直线OP的交点。此结论推广到双曲线,抛物线当然也都是成立的。对于文[2]中定理:椭圆焦点弦两端点处的切线的交点轨迹是该焦点相对