2020年奥数专题时钟问题.doc

奥数专题时钟问题第一部分基础知识点部分【开门见山这一段话多半录自百度百科】时钟问题能够看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题,不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。不同在于时钟问题有别于其它行程问题是:它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时,而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟:,上面有12个大格,每个大格为30度;60个小格,每个小格为6度。分针速度:每分钟走1小格,每分钟走6度;时针速度:每分钟走十二分之一小格,速度差:=;每分钟1-1/12=11/12小格,往往遇到各种“怪钟”、“坏了的钟”,它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同,但是在题目中总会给出标准时钟与特殊钟表的比例关系,在独立分析的基础上必须要学会十字交叉法。当你做过一个题目后,这个十字交叉法其实没有啥精妙之处,与浓度问题中的十字交叉类似,实际就是个一元一次方程变种格式而已。【温故知新】追击问题的三个特点:同时出发;同向而行;同时停止。追击问题的重要公式:路程差除以时间差=追击时间。常用的等量关系:快者路程-慢者路程=距离;在实际题目中,路程差相对变化多一些,主要的类型有:重合问题(路程)例如:时钟问题需要记住标准的钟,时针与分针从一次重合到下一次重合,所需时间为65又11分之5分。认识钟面:时钟问题解法与算法公式:时钟问题的关键点: 时针每小时走30度; 分针每分钟走6度分针走一分钟(转6度)时,,。*************************************************************************** 第二部分以知促行【例题1】从12时到13时,钟的时针与分针可成直角的机会有: 【解析】时针与分针成直角,即时针与分针的角度差为90度或者为270度,理论上讲应为2次,还要验证: 根据角度差/速度差=分钟数,可得90/=16又4/11<60,表示经过16又4/11分钟,时针与分针第一次垂直;同理,270/=49又1/11<60,表示经过49又1/11分钟,时针与分针第二次垂直。经验证,选B能够。【例题2】在某时刻,某钟表时针在10点到11点之间,此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上,则此时刻为----。【解法1】时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对,所以要想时针与分针成一条直线,则分针必在这一范围,而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分,所以【解法2】常规方法设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6(X+6)度,(X+3)度,(X—3)+10×30度。所谓“时针与分针成一条直线”(X—3)+10×30—6(X+6)=180度,解得X=15分钟。著名数学难题:时钟的时针和分针(了解)由时钟的时针与分针的特殊关系,产生了许多有趣的数学问题,介绍几例,研究解法。例1在钟表正常走动的时候,有多少个时针和分针重合的位置?它们分别表示什么时刻?解:钟表上把一个圆分成了60等分,假如时针从12点开始走过了x个刻度,那么分针就要走过12x个刻度,即分针走了12x分钟。两针在12点重合后,当分针比时针多走60个刻度时,出现第一次分针和时针重合;当分针又比时针多走60个刻度时,出现第二次分针和时针重合;……直至回到12点两针又重合后,又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示,即为:12x-x=60m,其中m=1,2,….度为1小时,对分针来说1个刻度就是1分钟。所以,12点以后出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出它们:如果用m=11代入,解得x=60,出现第十一次重合的时间是12点,这样就回到了开始的时刻,可见,以上共有11次出现两针重合的时间。1、二点到三点钟之间,分针与时针什么时候重合?分析:两点钟的时候,分针指向12,时针指向2,分针在时针后5×2=10(小格)。而分针每分钟可追及1-=(小格),要两针重合,分针必须追上10小格,这样所需要时间应为(10÷)分钟。解:(5×2)÷(1-)=10÷=10(分)答:2点10分时,两针重合。2、在4点钟至5点钟之间,分针和时针在什么时候在同一条直线上?分析:分针与时针成一条直线时,两针之间相差30小格。在4点钟的时候,分针指向12,时针指向4,分针在时针后5×4=20(小格)。因分针比时针速度快,要成直线,分针必须追上时针(20小格)并超过时针(30小格)后,才能成一条直线。因此,需追及(20+30)小格。解:(5×4+30)÷(1-)=50÷=54(分)