奥数专题 时钟问题.doc

奥数专题 时钟问题
第一部分 基础知识点部分
【开门见山 这一段话多半录自百度百科】
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。不同在于时钟问题有别于其他行程问题是：它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟：
，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度；
时针速度：每分钟走十二分之一小格，
速度差：每分钟6-=；每分钟1-1/12=11/12小格
，往往遇到各种“怪钟”、“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，但是在题目中总会给出标准时钟与特殊钟表的比例关系，在独立分析的基础上必须要学会十字交叉法。当你做过一个题目后，这个十字交叉法其实没有啥精妙之处，与浓度问题中的十字交叉类似，实际就是个一元一次方程变种格式而已。
【温故知新】追击问题的三个特点：同时出发；同向而行；同时停止。追击问题的重要公式：路程差除以时间差=追击时间。常用的等量关系：快者路程-慢者路程=距离；在实际题目中，路程差相对变化多一些，主要的类型有：重合问题（路程）
例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为65又11分之5 分。
认识钟面：
时钟问题解法与算法公式：时钟问题的关键点：
　　时针每小时走30度;　　分针每分钟走6度
分针走一分钟（转6度）时，时针走0．5度，分针与时针的速度差为5．5度。
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　　第二部分 以知促行
　　【例题1】从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有：
　　A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
　　【解析】
　　时针与分针成直角，即时针与分针的角度差为90度或者为270度，理论上讲应为２次，还要验证：
　　根据角度差/速度差 =分钟数，可得 90/5．5= 16又4/11＜60，表示经过16又4/11分钟，时针与分针第一次垂直；同理，270/5．5 = 49又1/11＜60，表示经过49又1/11分钟，时针与分针第二次垂直。经验证，选B可以。
　　【例题2】在某时刻，某钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为----。　
　　【解法1】
　　时针10—11点之间的刻度应和分针20—25分钟的刻度相对，所以要想时针与分针成一条直线，则分针必在这一围，而选项中加上6分钟后在这一围的只有10点15分，所以
　　【解法2】常规方法
　　设此时刻为X分钟。则6分钟后分针转的角度为6（X+6）度，则此时刻3分钟前的时针转的角度为0．5（Ｘ＋3）度，以0点为起始来算此时时针的角度为0．5（Ｘ—3）+10×30度。所谓“时针与分针成一条直线”即0．5（Ｘ—3）+10×30—6（Ｘ+6）=180度，解得Ｘ=15分钟。
著名数学难题：时钟的时针和分针（了解）
由时钟的时针与分针的特殊关系，产生了许多有趣的数学问题，介绍几例，研究解法。
例1 在钟表正常走动的时候，有多少个时针和分针重合的位置？它们分别表示什么时刻？
解：钟表上把一个圆分成了60等分，假如时针从12点开始走过了x个刻度，那么分针就要走过12x个刻度，即分针走了12x分钟。两针在12点重合后，当分针比时针多走60个刻度时，出现第一次分针和时针重合；当分针又比时针多走60个刻度时，出现第二次分针和时针重合；……直至回到12点两针又重合后，又开始重复出现以上情况。用数学式子来表示，即为：
12x－x=60m，其中m=1，2，…．
度为1小时，对分针来说1个刻度就是1分钟。所以，12点以后出现第四、五、六、七、八、九、十次重合的时间不难算出它们 :
如果用m=11代入，解得x=60，出现第十一次重合的时间是12点，这样就回到了开始的时刻，可见，以上共有11次出现两针重合的时间。
1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？
分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小格）。而分针每分钟可追及1－＝（小格），要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为（10÷）分钟。
解： （5×2）÷（1－）＝10÷＝10（分）
答：2点10分时，两针重合。
2、在4点钟至