直角三角形的射影定理教案.docx

=========222。:高二数学组授课班级:教学目标主备人:柴海斌授课时间:持案人:知识与技能:掌握直角三角形中成比例的线段的性质,并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”:通过问题设计,层层跟进,引导学生探索和发现射影定理。情感与价值观:培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。教学重难点重点:直角三角形的射影定理的证明及应用;难点:直角三角形的射影定理的证明。教学过程二、教学引入什么是射影?点和线段的正射影简称为射影(让学生复****并挖掘下图中的基本性质.)已知:如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.(1)图中有几条线段?(答:6条,分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n.)图中有几个锐角?数量有何关系?图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?由图中ΔACD∽ΔCBD∽ΔABC,可分别写出三组比例式:A(ΔACD∽ΔCDB);(ΔACD∽ΔABC).CBBDCDABBCAC(ΔCBD∽ΔABC);(4)观察第(3)题的结果,有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?只有三个比例中项的表达式,CDADBDCD,CBBDABBC,ACDAABCA(5)由上可得到哪些等积式?CD=AD·BD,BC=BD·BA,AC=AD·AB(二)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。请同学们自己写出已知条件并证明。已知:在RT△ABC中,∠ABC=90,CD⊥AB于D。求证:CD=AD*BDBC=BD*ABAC=AD*AB证明:在RT△ABC中,因为∠ABC=90。CD⊥AB∠B+∠DCB=90º,∠ACD+∠DCB=90º二、当堂训练=∠B=∠ACD,故△CBD∽△ACD所以ADCDCDBD\CD=AD·BD在RT△ACB与RT△BDC中,QÐB为公共角,\DBCD∽DBCA,\=,即BC=BD*ABBCAC同理,由DDBC∽DBCA,AC=AD*AB讨论:用勾股定理能证明射影定理吗?:Qa+b=c,b=m+h,a=n+h\m+h+n+h=(m+n)得h2=mn即:CD=AD·DB又n=c-mh2=mn=m·(c-m)=mc-m2h+m=mc,得AC=AD·AB同理:CB=BD·AB1、如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为D。AD=2,DB=8,求CD,AC和BC的长。解:QÐACB是半圆上的圆周角,\ÐACB=90,即ΔABC是直角三角形。 C又射影定理可得CD=AD·BD=2´8=16,解得CD=4;ADOB=AB·AD=2´10=20,解得AC=25;=BD·AB=8´10=80,解得BC=、如图,ΔABC中,顶点C在AB边上的射影为D,且CD=AD·BD。求证:ΔABC是直角三角形。证明:在ΔCDA和ΔBDC中, CAD,\CD^AB\ÐCDA=ÐBDC=90又QCD=AD·DB\AD:CD=CD:DB\DCDAwDBDC\ÐCAD=ÐBCD在DACD中oQÐCAD+ÐACD=90\ÐBCD+ÐACD=90oo\ÐBCD+ÐACD=ÐACB=90\DABC为直角三角形。三、课堂小结与反思o四、—4—1中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD=3,BD=2,则AC:BC的值是(C):::2:△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD:AD=1:4,则tan∠BCD的值是(C)A.14B.13C.,正确的有(B)两个直角三角形是相似三角形;等边三角形都是相似三角形;锐角三角形都是相似三角形;△ABC中,斜边AB=5cm,BC=2cm,D为AC上一点,DE⊥AB交AB于E,且AD=,则DE=(C)—4—2,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,DF⊥AC于F,DE⊥AB于E。试说明:32222243322==22=·AC=AD·BC;AD=BC·BE·CF。解:(1)在Rt△ABC中,AD⊥B