《直角三角形的射影定理》教案.doc

1 /4 D 直角三角形的射影定理教学目标(一) 知识与技能 ; ,使学生经历探索数学问题的过程,逐步形成探究问题的意识,发展探究问题的能力. (二)过程与方法类比正方体、长方体的表面积,讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法. (三) 情感态度与价值观通过小组活动,让学生体验合作学****的愉悦,培养学生团队合作精神. 教学重点射影定理的证明. 教学难点建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系. 教学方法师生协作共同探究法. 教学用具黑板多媒体教学过程设计一复****引入前面已经学****了相似三角形的判定定理及性质定理,请学生回答以下两个问题: ? ? (通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题.) 二新知探究如图, ⊿ ABC 是直角三角形, CD 为斜边 AB 上的高. 提出问题: 图1 ,有哪几组相似三角形? (三组:△ ACD 与△ CBD ,△ BD C 与△ BCA ,△ CDA 与△ BCA ) ,分组讨论:结合相似三角形对应边成比例的性质,寻找 CB A2 /4 AA′ MN N AA′ B′ B 每组三角形中的线段长度关系: △ ACD 与△ CBD 中, CD 2= AD · BD , △ BDC 与△ BCA 中, BC 2= BD · AB , △ CDA 与△ BCA 中, AC 2= AD · AB . 这三个关系式形式上完全一样,但不便于记忆,因此,在这里教师适时的引入射影的定义: 从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影. 一条直线在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段. 请学生结合射影定义及图 1,观察三个关系式的特点,在此基础上,即可得出射影定理: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 三例题分析例1如图 3,圆 O上一点 C在直径 AB 上的射影为 D. AD=2 , DB=8, 求 CD 、 AC 和 BC 的长. 解: ∵∠ ACB 是半圆上的圆周角, ∴∠ ACB=90 °,即⊿ ABC 是直角三角形. 由射影定理可得: CD 2 =AD · BD=2 × 8=16 ,解得 CD=4 ; AC 2 =AD · AB=2 × 10=20 ,解得 AC=2 5 ; BC 2 =BD · AB=8 × 10=80 ,解得 BC= 45 . (师生一起分析思路,由学生完成求解.) M3 /4 图3图4 例2如图 4,⊿ ABC 中,顶点 C在 AB 边上的射影为 D,且 CD 2 =AD · BD . 求证: ⊿ ABC 是直角三角形. 证明:在⊿ CDA 和⊿ BDC 中, ∵点C在 AB 上的射影为 D, ∴ CD ⊥ AB . ∴∠ CDA= ∠ BDC=90 °. 又∵ CD 2 =AD · BD , ∴ AD:CD=CD:DB . ∴⊿ CDA ∽⊿ BDC . 在⊿ ACD 中, ∵∠ CAD+ ∠ ACD=90 °,∴∠ BCD+ ∠ ACD=90 °. ∴∠ BCD+ ∠