高等代数拓展内容之十二代数学范畴.doc

高等代数拓展内容之十二代数学范畴1、算术算术有两种含义,一种是从中国传下来的,相当于一般所说的“数学”,如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的,源自希腊语,有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”,往往指自然数的四则运算;如果是在高等数学中,则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术,主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算,并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。算术是数学中最古老的一个分支,它的一些结论是在长达数千年的时间里,缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了在许多世纪中积累起来,并不断凝固在人们意识中的经验。自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中,产生的抽象概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象,还要计算各种量,例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的量度需要,就要用到分数。现代初等算术运算方法的发展,起源于印度,时间可能在10世纪或11世纪。它后来被阿拉伯人采用,之后传到西欧。15世纪,它被改造成现在的形式。在印度算术的后面,明显地存在着我国古代的影响。19世纪中叶,格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系,来定义加法与乘法运算;而算术的其它命题,可以作为逻辑的结果,从这一体系中被推导出来。后来,皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体系。算术的基本概念和逻辑推论法则,以人类的实践活动为基础,深刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的,但由于它概括的原始材料是如此广泛,因此我们几乎离不开它。同时,它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。2、初等代数作为中学数学课程主要内容的初等代数,其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的:其一是增加未知数的个数,考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是一次方程组);其二是增高未知量的次数,考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。古巴比伦(公元前19世纪~前17世纪)解决了一次和二次方程问题,欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程的方法。我国的《九章算术》(公元1世纪)中有三次方程和一次联立方程组的解法,并运用了负数。3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世纪我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。代数学符号发展的历史,可分为三个阶段。第一个阶段为三世纪之前,对问题的解不用缩写和符号,而是写成一篇论文,称为文字叙述代数。第二个阶段为三世纪至16世纪,对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法,称为简化代数。三世纪的丢番图的杰出贡献之一,就是把希腊代数学简化,开创了简化代数。然而此后文字叙述代数,在除了印度以外的世界其它地方,还十分普通地存在了好几百年,尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后,对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记,这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系,称为符号代数。16世纪韦达的名著《分析方法入门》,对符号代数的发展有不少贡献。16世纪末,维叶特开创符号代数,经笛卡尔改进后成为现代的形式。“+”、“-”号第一次在数学书中出现,是1489年魏德曼的著作。不过正式为大家所公认,作为加、减法运算的符号,那是从