四、高职不定积分教案.doc

不定积分基本要求:理解原函数与不定积分的概念;掌握不定积分的性质和了解不定积分的几何意义。授课容:§4-1原函数与不定积分原函数定义1如果对任一,都有或则称为在区间I上的原函数。例如:,即是的原函数。,即是的原函数。原函数存在定理:如果函数在区间I上连续,则在区间I上一定有原函数,即存在区间I上的可导函数,使得对任一,有。注1:如果有一个原函数,则就有无穷多个原函数。设是的原函数,则,即也为的原函数,其中为任意常数。注2:如果与都为在区间I上的原函数,则与之差为常数,即(C为常数)注3:如果为在区间I上的一个原函数,则(为任意常数)可表达的任意一个原函数。二、不定积分定义2在区间I上,的带有任意常数项的原函数,成为在区间I上的不定积分,记为。如果为的一个原函数,则,(为任意常数)因为,得因为,时,;时,,得,因此有设曲线过点,且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍,求曲线的方程。解:设曲线方程为,其上任一点处切线的斜率为从而由,得,因此所求曲线方程为三、不定积分的性质由原函数与不定积分的概念可得:四、不定积分的几何意义不定积分的几何意义如图5—1所示: 图5—1设是的一个原函数,则在平面上表示一条曲线,,,族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标的点处有互相平行的切线,,往往先求出原函数的一般表达式,再从中确定一个满足条件(称为初始条件),,且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方,,,:本节学****了原函数的概念,不定积分的概念,不定积分的性质,学****了几个简单的积分公式,并通过几个例子熟悉积分公式的使用。基本要求:巩固不定积分的概念;掌握不定积分的基本公式和不定积分的性质;熟练掌握直接积分法。授课容:§4-2不定积分的概念与性质不定积分的的基本公式及性质1、积分公式1)(为常数)2)()3)4)5)2、., (为常数,)二、直接积分法求解: 求解: 求解: : 求解: 求解: 基本要求:了解换元积分法的基本思想;熟练掌握第一类换元积分法和第二类换元积分法。授课容:§4-3换元积分法第一类换元积分法(或称凑微分法)设为的原函数,即或如果,且可微,则即为的原函数,或因此有定理1设为的原函数,可微,则(2-1)公式(2-1)称为第一类换元积分公式。求解:求解:求解:原式=求,解:求解:求解:求解:求解:第二类换元积分法定理2设是单调的可导函数,且,又设具有原函数,则(2-2)其中为的反函数。公式(2-2)称为第二类换元积分公式。求,解:令,,则,,因此有求,解:令,,则,,因此有其中。用类似方法可得