数学悖论价值浅析.doc

数学悖论价值浅述悖论,早在古代哲学史中就作为一个引人瞩目语言现象与逻辑现象而存在。但在相当长一段时间内,未能引起哲学家与数学家们足够重视,因为人们通常认为悖论不过是巧妙编制谬论,直到1901年,著名哲学家、数学家罗素在集合论中发现震动性罗素悖论,才使大家转变了对悖论认识。回顾自然科学发展史,曾出现过大量悖论,引起了一次又一次科学理论危机,给一些人带来了烦恼与失望。然而正是这些悖论出现与消除,极大地促进了自然科学发展,标志着科学真正进步。本文以数学悖论为研究重点,对悖论发展及其意义提出粗浅看法。一、悖论与数学悖论“悖论”一词来自希腊文,是超出、违反、对抗之意与料想之意合称。笼统地讲,悖论是逻辑学名词,是指一种导致矛盾推理过程。中国大百科全书哲学卷曾这样定义悖论:指由肯定它真,就推出它假,由肯定它假,就推出它真一类命题。这类命题也可以表述为:一个命题A,若肯定A,就推出非A;反之,若肯定非A,又可以推出A。悖论与通常诡辩或谬论含义是不同,诡辩、谬论不仅从公认理论上看是错误,而且通过已有理论、逻辑可以论证其错误原因,而对于悖论虽然感到不妥当,但从它所在理论体系内,却不能阐明其错误原因,可见悖论对于它所在历史阶段与科学理论体系而言是解释不了矛盾。数学悖论是指一切与人知觉与日常经验相矛盾数学结论。数学悖论有三种主要形式:(1)一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对;(2)一种论断看起来好像肯定正确,但实际上却是错了;(3)一系列推理看起来几乎无懈可击,可是却导致逻辑上自相矛盾。数学悖论是数学分支趣味数学一个组成部分,有些数学理论起源于数学悖论,如:欧拉拓扑学,冯?纽曼博弈论等,可以说数学悖论是新数学理论一块滋生地。此外,趣味数学同样具有重要教育价值,在课堂教学中,适当、恰当地向学生介绍一些数学悖论,可以激发学生对数学兴趣;丰富课堂教学活动;让学生洞悉解题过程;提高学生对现代数学多样性鉴赏力。数学发展从来不是直线式,也并不总是与谐,而是常常出现悖论,但正是这些重要悖论产生,为未来发展提供了契机,进而艰难悖论总是以熠熠生辉方式使之得到美妙结论。但悖论在数学中也出现了一种严重问题,所造成事实是对数学基础怀疑及对数学可靠性动摇,甚至导致“数学危机”。因此,数学悖论产生使人们更加自觉地认识到其在数学发展中重要性。二、数学悖论在基础数学研究中价值纵观数学基础研究历史,悖伦发现与解决,无疑是起到了强有力杠杆作用。公元前5世纪,毕达哥拉斯学派希帕索斯发现了等腰直角三角形直角边与斜边是不可通约,这一发现被看做是一种悖论,导致了数学史上第一次危机。这一悖论解决以确定了无理数合法席位而告终,并导致了公理几何学与逻辑学这一对双胞胎诞生。自17世纪下半叶微积分诞生以来,在数学界出现混乱局面被称为数学史上第二次危机。无穷小量到底是什么?主观唯心论哲学家贝克莱大主教攻击无穷小量是“已死量幽灵”“变化率只不是消失了量鬼魂”,被称为贝克莱悖论。19世纪初,柯西详细而系统地发展了极限理论,用“以零为极限变量”来解决莱布尼兹“无穷小”。随后狄德金、康托、外尔斯特拉斯等人相继建立了严整实数理论,使微积分有了牢固基础,结束了300年混乱局面。数学第三次危机是集合论中悖论出现及其引起争论局面。1902年著名逻辑学家、数学家罗素提出悖论引起了整个数学界震惊,激起了数学研究者们热情。罗素悖论提出:集合可