第十五章 导数的应用　典型习题解答与提示.doc

第十五章导数的应用典型习题解答与提示

习题 15-1

1.(1)①函数在闭区间上连续是显然的,
②因,所以在开区间上可导,
③,
即满足特例中三个条件,所以有一点,有成立;
(2)①函数的闭区间上连续是显然的,
②因,故在开区间上可导,
满足拉氏定理条件,因,令,
即,故,取
有成立;
(3)提示:,因为,令,可求取;
(4)提示:,因,令,可得。
2.(1)函数,在区间上满足拉氏定理的条件,
故,
即;
(2)函数在上满足拉氏定理的条件,
故,
显然有,即有;
(3)因函数在区间上满足拉氏定理的条件,
故,
注意到余弦函数在第1象限为减函数,即,
所以,
即,注:当且仅当时,不等式取等号;
(4)函数在区间上满足拉氏定理条件,
故,即。
3.(1)因,故函数在上为单调减函数;
(2),则函数在整个数轴上单调增,当然在上为增函数。
4.(1)函数在,上为单调增,在上为单调减;
(2)函数在区间上为单调减,在区间上为单调增;
(3)函数在区间为单调增,在区间为单调减;
(4),令,
当时,,当-2<<-1时,
当时,,当时,
故函数在区间,上单调增,在上为单调减;
(5)因,令,则,
当时,,则为函数的单调增区间,
当时,,则为函数的单调减区间;
(6),则函数在上为单调增。
5.(1)提示,令,则,当时,;
(2)提示,令,故;
(3)设,所以,
因为当,所以,函数在上为单调增,
由,即;
(4)设,则,
故函数在上为单调增,所以,即。
6.(1)因,所以在为单调增,但作为的函数不是单调函数;
(2)在上单调增,但在上不是单调函数。
习题 15-2
1.(1)极大值,极小值;
(2),令,
,所以,则函数在处有极大值,
,即函数在,有极小值;
(3)函数在处取得极小值;
(4)函数在处取得极小值;
(5),令,为整数,
,
故当时,,函数有极大值;
当时,,函数有极小值;
(6),则,故,
令,当时,,当时,,
即函数在处取得极大值;
(7),当时,不存在且函数在处连续,
当时,;当时,,即函数在处取得极大值;
(8),因,故,即函数在上为单调增,无极值。
2.,取,令,得,
,
故当时,函数在处取得极大值为。
3.,
由题已知条件,故即函数在上为单调增函数,即它无极
值。
习题 15-3
1.(1)因,即函数在上递增,
最小值为,最大值为;
(2)函数在区间上最小值为,最大值为;
(3),令,考虑,
,则函数在区间上最大值为,
最小值为;
(4),令,考虑,则函数在区间上的最小值为,最大值为;
(5),令,得,
因为,则函数在区间上最大值为,最小值为。
,高为时,用料最省。
m,长为10 m时,所围长方形面积最大。
,则矩形的高为,
故截面面积,
故,令, m,
依题意必存在极大值。即当矩形底边约为 m,高约 m时,截面面积最大。
km,则电线总长为,
则,令,则,依题意必存在极小值,所以
当变压器装置在距A垂足 km处,所用电线最省。
:设断面的宽为,这时高满足,
则有函数,求并解,
当截面矩形宽为,高为时,强度最大。
,高为,则,
则,令,即,依题意必存在极大值,所以当炸药包被埋在深为处,爆破体积最大。
习题 15-4
1.(1)函数曲线在内呈现凹状;
(2)函数曲线在内呈现凸状;
(3)函数曲线在内呈现凹状;
(4),
即当、曲线呈现凸状,当、曲线呈现凹状;
(5),令,
当、曲线呈现凹状,当、曲线呈现凸状,当、曲线呈现凹状。
2.(1)在区间内呈现凸状,在区间内呈现凹状,点为拐点;
(2)在曲线呈现凸状,曲线呈现凹状,拐点;
(3),
令,求得,则当时、曲线呈现凹状,当时、
曲线呈现凸状,即凹区间为,凸区间为,拐点为;
(4),当时,不存在,但函数在处连续,当时,,当时,,即区间呈现凸状,区间呈现凹状,(2,0)为拐点;
(5)提示:参见第五节中例2。
3.,取时,令及曲线过点,
有,则,这时,,当从1的一侧
变化到另一侧时,变号,即当时,点为曲线的拐
点。
,令得,因在这些点的左右两侧均改变符号,所以点,,都是拐点。因为,,即这三个拐点位于同一条直线上。
习题 15-5
略
习题 15-6
1.(1);