密度矩阵相关计算.ppt

高等量子力学(第二章)第二章量子力学的理论构架§2-1 表象理论§2-2 二次量子化§2-3 密度矩阵§2-4 路径积分与格林函数1精选课件§2-3 密度矩阵(算符)1、纯态与混合态迄今为止,研究的对象基本上是一个粒子,它的状态总是用希尔伯特空间的一个态矢量来表示,这些态矢量满足叠加原理,把这些状态称之为纯态。例如:(1)其中,为纯态,也是纯态。总之,凡是能用希尔伯特空间的一个矢量描述的状态都是纯态。在一个纯态之上,力学量F的取值是以概率的形式表现的,这就意味着,对单个粒子的预言是与大量粒子构成的系综的统计平均相联系的,或者说,量子力学具有统计的性质。从统计规律性的角度看,由纯态所描述的统计系综称为纯粹系综。例如,在Stern-Gerlach实验中,当原子束通过磁场后,每个原子的自旋都指向同一个方向,即束流的完全被极化的,此时,可以把体系理解为纯粹系综。2精选课件以上纯态和本征态的定义是不一样的,本征态一定是纯态,但纯态一般不是本征态,而是多个本征态的线性组合3精选课件Stern-Gerlach实验证明电子有自旋角动量的实验使电中性银原子在电炉内蒸发射出,通过狭缝S1、S2形成细束,经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域(磁场垂直于射束方向),最后到达照相底片上。显像后的底片上出现了两条黑斑,表示银原子经过不均匀磁场区域时分成了两束。当时测得银、铜、金和碱金属的原子磁矩分量的大小都等于一个玻尔磁子,它们的原子束都只分裂为对称的两束。斯特恩-革拉赫实验说明,原子磁矩取值和自旋磁矩取值无法同时确定。这句话是怎么得来的?4精选课件实际上,有时候会遇到更为复杂的情况,假设许多原子刚从一个热炉子中蒸发出来,它们的自旋取向是无规律的,如何描述这种非极化的束流呢?为了使问题更具有普遍意义,上述问题可概括为,当体系以的概率(或权重)处于状态,以的概率处于状态,…..以的概率处于状态时,称其中的每一个为参与态。这样的状态是无法用希尔伯特空间的一个态矢量来描述的,而需要用一组态矢量及其相应的概率来描述,则称之为混合态,相应的统计系综为混合系综。为了说明纯态和混合态的区别,让我们来考察力学量F在两种状态上的取值概率。设算符满足:(2)在纯态(1)上,取fi值的概率为(投影获得系数,概率为系数平方)(3)5精选课件而在混合态上,根据混合态的定义可知,取fi值的概率为(4)显然,上面两式完全不同。若再具体到坐标表象(坐标为自变量),则(1)式为(5)在纯态(5)上,坐标取x0值的概率密度为(6)而在混合态上,坐标取x0值的概率密度为(7)6精选课件由上述两式可以看出,在纯态下,两个态之间发生干涉,而在混合态下,无干涉现象发生。前者为概率幅的叠加,称为相干叠加,叠加的结果形成一个新的状态,后者为概率的叠加,称为不相干叠加。2、密度算符的定义为了能够统一地描述纯粹系综和混合系综,1927年Neumann给出密度算符的演算方法。(1)纯态下的密度算符的定义首先,在纯态之下引入密度算符。设是希尔伯特空间中的任意一个归一化的态矢(纯态),F为一个可观测的物理量,对应的本征值和本征矢分别为fi与,算符在状态上的平均值为(8)选任意一组正交归一完备基底,于是有(9)7精选课件选任意一组正交归一完备基底,于是有(9)注意(9)式中含有西格玛,n的变化范围假设为1到N,表示完备基底是N维的。假设正交归一完备基由N个独立的正交归一函数(矢量)组成,则表示一个N行N列的单位矩阵。左侧表示列矢,右侧表示行矢量;左侧表示行矢,右侧表示列矢。波函数本身是一个叠加态矢量,可以被任意一个完备的空间基底展开,也可以被一个N维的空间基底展开。上式(9)表示原式左侧和右侧矢量分别被N维空间的完备基矢量展开。选任意一组正交归一完备基底,于是有(注意:在一个1*n和一个n*1两个矢量间插入一个单位n*n的矩阵,结果不变)(9)说明8精选课件若引入纯态之下的密度算符(此算符为方阵,方阵对角元为构成纯态的任意子态出现的概率,对角元加和为1。若右侧左右两矢量交换位置,则显然也等于1,即为密度为1(而非密度算符),相当于做西格玛和求阵迹。)(10)则(9)式可以写为(11)上式说明算符在一个归一化的纯态上的平均值等于该算符与密度算符之积的阵迹。显然,密度算符是一个投影算符。力学量F在状态上的取值fi概率(12)它是密度算符在算符的第i个本征态上的平均值。总之,利用状态定义的密度算符可以给出任意力学量F在该状态上取值概率与平均值,因此,纯态下的密度算符是可以代替态矢来描述纯态的一个算符。9精选课件(2)混合态下的密度算符的定义对于前面定义的混合态而言,一个物理量F的平均值要通过两次求平均来实现。首先,进行量子力学平均,即求出力学量F在每个参与态上的平均值,然后,在对其进行统计平均,即求出以各自概率出现的