Royden_Real_Analysis_Solutions.pdf

Real Analysis by H. L. Royden Contents 1 Set Theory 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Unions, intersections plements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Algebras of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 The axiom of choice and in?nite direct products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Countable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Relations and equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Partial orderings and the maximal principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Well ordering and the countable ordinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 The Real Number System 5 Axioms for the real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 The natural and rational numbers as subsets ofR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 The extended real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Sequences of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Open and closed sets of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Borel sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Lebesgue Measure 13 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Outer measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Measurable sets and