数分卷(B试点班3)(解答).doc

数分卷(B试点班3)(解答).doc!綁 辄 麻.!华中师范大学2005-2006学年第一学期期末考试试卷(B卷)(解答)课程名称数学分析3(试点班)课程编号83410006任课教师刘敏思题型填空题计算题计算题证明题讨谀证明题证明题总分分值1020151515205100得分得分评阅人一、填空题(共5小题,每题2分,共2x5=10分)「a+1 1 711、limI. ^=dx= —"3aJ1+宀兀2 2rr2、B(cz,l-a)= (其中B(a,l-a)=[ a_1(l-x)~adx,0<a<1).sinan223、xye^'^^^dxdy= 0 (其中D:x+y<1).D4、设C是/上的一条有向光滑曲线,,为c上每一点的切线正向,写出+Qdy与第一型曲线积分的关系 +0dy=J[Pcos(f,兀)+Qcos(f,y)0$ (用f的方向余弦表示的关系).c c5、设C是R2上的一条围线(x09y0)^C-2龙或0得分评阅人二、计算下列重积分供3小题,共20分)1、JJSin^dxdy,其中D是由直线x=09y=1及抛物线y=:因为Z)={0<y<1,0<x<y2},所以sinydx=sinydy=sinl-cosl02、dxdy,其中Q是由直线x=0,y=0,x =:令”=y,v=兀+y,则D的对应区域为A={0<v<1,0<u<v},X=nS(x,y) 1:v-u,y=u, =-1d(u,v)所以u 1 V w 1 J原式二 jjevdudv - ^dv ^evdu = jv (<?-\)dv -—(e -1)A 0 0 0 23、+z)dxdydz,其中V是由锥面z=Jx,+y?与柱面x2+y2=a2(a>0)以及平面vZ=0所围成的有界区域..解:由于U关于yz平面对称,且y是关于y的奇函数,从而JJJyd兀dydz=0又V={05z5&2+y2,(X,y)€{x2+y2<^2}}所以原式=^zdxdydzV得分评阅人三、计算下列曲线积分(共2小题,共15分)1、2+z2ds,其中厶为球面x2+y$+z2=/与平面x=:由题设知,2y2+z2=a2,且厶为以a为半径的大圆所以,原式=°"$=2加彳,L2、J(一ysinx一my)dx+cosxdy,其中m为常数,L为由点4(a,0)到AB(0,0)的上半圆周Lx2+y2=ax(a〉0).解:补充有向直线段B4,由格林公式-ysinx一my)dx+cosxdy原式=J(一ysin兀-my)dx+cosxdy=jL^BA BAJ(一ysinx一my)dx+cosxdy=^mdxdy=—a2L+BA D *其中£>={x2+y2<ax>0}得分评阅人四、证明与计算题(共2小题,共15分)(1)、设/(兀』忆)在有界闭区域Vu/?'上连续,证明:存在(Xo,y°,Zo)wV,使得JJJ/(兀』,z)dxdydz=/(x(),y(),z())4V,其中AU为V的体积。厂⑵、利用⑴计算1曲厶HI?(兀2+y2+z2)dxdydz,其中V:x2+y2+z2<r2,f连续且宀兀厂/(0)=:(1)由连续函数性及积分的不等式性质,得mAV<Jlj/(x,y)dxdydz<MAV,其中加,M分别为/(兀,y,z)在V上的最大值与最小值。再由积分中值性,存在(兀0,儿忆0)wV使得Jj