数分卷(B试点班1)解答.doc

华中师范大学 2004 –2005 学年第一学期
期末考试试卷(B卷)
课程名称数学分析1(试点班) 课程编号 83410001 任课教师刘敏思
题型
叙述题
判断题
计算题
证明题
总分
附加题
分值
12
16
20
52
100
20
得分
得分
评阅人
一、叙述题(叙述下列概念、命题或性质。共4题,共4×3=12分)
1、。
答:存在,使得对任意,存在满足,但。
2、的归结原则。
答:的充要条件是对任意单调递增收敛于的数列,总有。
3、的柯西准则的否定形式。
答:不存在的充要条件是存在,使得对任意,存在满足,但。
4、的局部有界性。
答:如果存在,则存在,使得在其中有界。
院(系): 专业: 年级: 学生姓名: 学号:
------------------------------------------------- 密---------------------------------- 封----------------------------- 线---------------------------------------------------------
得分
评阅人
二、判断题(判断下列命题的正误。正确的打“√”;错误的打“×”并给出反例。共4题,共4×4=16分)
1、若与都不存在,则必不存在。( × )
反例:取,显然它们的极限都不存在,但。
2、若在上一致连续,则必存在。( × )反例:取,显然在上一致连续,但不存在。
3、若在上连续,且存在,则在上必有最大值或最小值。( √)
4、若在有定义,且不存在,则必为的极值。( × )
反例:取,显然不存在,但不是的极值。
得分
评阅人
三、计算题(共2题,共20分)
求下列极限: (10分)
(1) ; (2)。
解:(1) 因,所以,原式=。……………………….( 分)
(2) 因,
所以, 原式=。………………………….. .( 分)
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2、求下列函数的导数或高阶导数:(10分)
(1)设(),求。
解: …………………………….( 分)
(2)设,求。
解:

一般地,。………………………………….( 分)
得分
评阅人
四、证明题(共4题,共52分)
1、(1)用定义证明:若数列满足,则收敛,且;
(2)设,利用(1)求。
(3)若将(1)中的条件改为“都收敛”,则数列是否一定收敛。(16分)
(1) 证明: 由极限的定义,对任意,存在,当时,总有
,
取,则当时,有

即。
故命题成立。…………………………………..( 分)
------------------------------------------------- 密---------------------------------- 封----------------------------- 线---------------------------------------------------------
(2) ……………………………..( 分)
(3) 数列不一定收敛。反例:取,
显然