正交矩阵的对角线元素.doc

正交矩阵的对角线元素.doc,英国谢菲尔德大学1・下面岀现的所有数字均被认为是实数,用"(心―齡)来表示心&之中全部负数的个数•通过一点我们可以构造一个比为线性空间•一个正交矩阵被称为特正交矩阵或非正常正交阵,是依据它的行列式的值是+1还是-1•([l]定理8)%•・■心是一个特正交矩阵的对角线元素当且仅当血…如位于有偶数个负坐标的形如(±兀・・"土1〕,来判断给定的个数是否是特正交矩阵的对角线元素•实际上,我们有以下结论:定理2数字dlf...fdn是一个特止交矩阵的对角线元素的充分必要条件是(1)肚:|生1(J=1八・・,TL)〉,|如£几-2+2A77un|d;|([1]定理9)得出定理2是在当心丿…总全是非负的情况下,以及当N(心—%)是偶数时;此外,在所有情况下,条件1和条件2的必要性包含在他的论据中([1])..,…起口是一个特止交矩阵的对角线元素的充分必要条件是(1)I引兰10=1八・・,©(2)n》|氐|盂71—2+2(1—久)加诃d,|fc=i其中久被赋值为1或0是根据N(右,...,心)是偶数还是奇数推论2数字如,...虫他是特正交矩阵的对角线元素,同时也是非正常正交阵的对角线元素的充分必要条件是風|£1o=1,…丿?i)(2)n乂|&订£凡一2fr=i很明显,推论2由定理2和推论1得出,推论1由定理2得出,凭借的事实是dlf...fdn是非正常正交阵的对角线元素当且仅当一心,…,》・“心,我们有(0n nmg:v^叽》际|JfS1 JfS1最大数在所有务,…,务中产生,归…,<V±1(u)n n吨£%甘丫除I-沁炳fc=1 2(3) 最大数在所有g…心中产生,尙…点二±1"3“…,务)主"(兀—尙)首先,我们n nfr=1^=i同样,根据©no或gvo把跟赋值为+1或-1可得n n为比恋=》|心|fr=1这证明了(1)・下面有如果旳…鸟满足⑶,对于符合条件务g的我们有总^=1丫说观玉兀订一2|rJ兰三|兀订一2|兀』再次,根据・QVO或者是心no把①赋值为+1或-1,对于那些AH的匕根据耳no或者是乓<0把&赋值为+1或T,那么⑶得到满足,我们有11为饭盹=》|心|-2愿|显然,⑴)=(附…內J,Pk=(兀袒—隔.)k=1—肌・P位于点氐的复包线上当且仅当,对任何数字旳… H han:很明显的,,请参看([2]-24)作为定理1和引理2的导出结果,我们有推论3 数字心丿…起总是一个特正交矩阵的对角线元素当且仅当对于任何数字S心我们能找到数字****心fn=±1, …,务)=0(5)n n^r=1 k=13・ 现在我们对定理2进行证明•首先假设数字如,…血是一个特正交矩阵的对角线元素,条件(