正交矩阵的对角线元素.doc

,,用N(x1,…,xn)来表示x1,…,,是依据它的行列式的值是+1还是-×([1]定理8),…,dn是一个特正交矩阵的对角线元素当且仅当(d1,…,dn)位于有偶数个负坐标的形如(±1,…,±1),,我们有以下结论:定理2数字d1,…,dn是一个特正交矩阵的对角线元素的充分必要条件是(1)dj≤1(j=1,…,n)(2)k=1ndk≤n-2+2λmin1≤j≤ndj其中λ被赋值为1或0是根据N(d1,…,dn)([1]定理9)得出定理2是在当d1,…,dn全是非负的情况下,以及当N(d1,…,dn)是偶数时;另外,在所有情况下,条件1和条件2的必要性包含在她的论据中([1]).,…,dn是一个特正交矩阵的对角线元素的充分必要条件是(1)dj≤1(j=1,…,n)(2)k=1ndk≤n-2+2(1-λ)min1≤j≤ndj其中λ被赋值为1或0是根据N(d1,…,dn)是偶数还是奇数推论2数字d1,…,dn是特正交矩阵的对角线元素,同时也是非正常正交阵的对角线元素的充分必要条件是(1)dj≤1(j=1,…,n)(2)k=1ndk≤n-2很明显,推论2由定理2和推论1得出,推论1由定理2得出,凭借的事实是d1,…,dn是非正常正交阵的对角线元素当且仅当-d1,…,-,…,xn,我们有(i)maxk=1nδkxk=k=1nxk最大数在所有δ1,⋯,δn中产生,δ1,⋯,δn=±1N(δ1,⋯,δn)≡N(,…,)(ii)maxk=1nδkxk=k=1nxk-2min1≤j≤nxj(3)最大数在所有δ1,⋯,δn中产生,δ1,⋯,δn=±1N(δ1,⋯,δn)≢N(x1,…,xn)首先,我们k=1nδkxk≤k=1nxk同样,根据xk≥0或xk<0把δk赋值为+1或-1可得k=1nδkxk=k=1nxk这证明了(1).下面有min1≤j≤nxj=xs如果δ1,…,δn满足(3),对于符合条件δixi≤0的i,我们有k=1nδkxk≤k=1nxk-2xi≤k=1nxk-2xs再次,根据xs<0或者是xs≥0把δs赋值为+1或-1,对于那些k≠s的k,根据xk≥0或者是xk<0把δk赋值为+1或-1,那么(3)得到满足,我们有k=1nδkxk=k=1nxk-2xs显然,(ii)=(x1,…,xn),Pk=(xk1,…,xkn)k=1,…,,…,Pm的复包线上当且仅当,对任何数字a1,…,+…+anxn≤a1xk1+…+anxkn很明显的,这一结果表明了事实P位于P1,…,Pm的复包线上当且仅当没有超平面能够把P从