MATLAB多元函数导数求极值或最优值.doc

实验六多元函数的极值【实验目的】多元函数偏导数的求法。多元函数自由极值的求法多元函数条件极值的求法、学****掌握MATLAB软件有关的命令。【实验内容】求函数的极值点与极值【实验准备】,根据多元函数极值的必要与充分条件,可分为以下几个步骤:步骤1、定义多元函数步骤2、求解正规方程,得到驻点步骤3、对于每一个驻点,求出二阶偏导数步骤4、对于每一个驻点,计算判别式,如果,则该驻点就是极值点,当为极小值,为极大值;,如果,判别法失效,需进一步判断;如果,则该驻点不就是极值点、,则在上必定有最大值与最小值。求在上的最大值与最小值的一般步骤为:步骤1、计算在内所有驻点处的函数值;步骤2、计算在的各个边界线上的最大值与最小值;步骤3、将上述各函数值进行比较,最终确定出在内的最大值与最小值。,用jacobian求Jacobian矩阵。diff(f,x,n)求函数f关于自变量x的n阶导数。jacobian(f,x) 求向量函数f关于自变量x(x也为向量)的jacobian矩阵。可以用helpdiff,helpjacobian查阅有关这些命令的详细信息【实验方法与步骤】练****1求函数的极值点与极值、首先用diff命令求z关于x,y的偏导数>>clear;symsxy;>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;>>diff(z,x)>>diff(z,y)结果为ans=4*x^3-8*yans=-8*x+4*y即再求解正规方程,求得各驻点的坐标。一般方程组的符号解用solve命令,当方程组不存在符号解时,solve将给出数值解。求解正规方程的MATLAB代码为:>>clear;>>[x,y]=solve('4*x^3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')结果有三个驻点,分别就是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4)、下面再求判别式中的二阶偏导数:>>clear;symsxy;>>z=x^4-8*x*y+2*y^2-3;>>A=diff(z,x,2)>>B=diff(diff(z,x),y)>>C=diff(z,y,2)结果为A=2*x^2B=-8C=4由判别法可知与都就是函数的极小值点,而点Q(0,0)不就是极值点,实际上,与就是函数的最小值点。当然,我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。>>clear;>>x=-5:0、2:5;y=-5:0、2:5;>>[X,Y]=meshgrid(x,y);>>Z=X、^4-8*X、*Y+2*Y、^2-3;>>mesh(X,Y,Z)>>xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')结果如图6、1图6、1函数曲面图可在图6、1种不容易观测极值点与鞍点,这就是因为z的取值范围为[-500,100],就是一幅远景图,局部信息丢失较多,观测不到图像细节、可以通过画等值线来观测极值、>>contour(X,Y,Z,600)>>xlabel('x'),ylabel('y')结果如图6、2图6、2等值线图由图6、2可见,随着图形灰度的逐渐变浅,函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点与、根据提梯度与等高线之间