MATLAB多元函数导数求极值或最优值.doc

实验六　多元函数的极值
【实验目的】
多元函数偏导数的求法。
多元函数自由极值的求法
多元函数条件极值的求法.
学****掌握ＭATLAB软件有关的命令.
【实验内容】
求函数的极值点和极值
【实验准备】
１．计算多元函数的自由极值
对于多元函数的自由极值问题,根据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤：

步骤2．求解正规方程，得到驻点
步骤3。对于每一个驻点,求出二阶偏导数
步骤４． 对于每一个驻点，计算判别式，如果，则该驻点是极值点，当为极小值， 为极大值；,如果,判别法失效,需进一步判断； 如果，则该驻点不是极值点.
2．计算二元函数在区域D内的最大值和最小值
设函数在有界区域上连续，：
步骤1．　计算在内所有驻点处的函数值；
步骤２。 计算在的各个边界线上的最大值和最小值；
步骤3． 将上述各函数值进行比较,最终确定出在内的最大值和最小值。
３．函数求偏导数的MATＬＡB命令
MAＴＬAＢ中主要用ｄiff求函数的偏导数，用jａcobian求Ｊａcｏbiａn矩阵。
diff（f,x，ｎ） 　求函数ｆ关于自变量ｘ的n阶导数。
jａｃobiａｎ(ｆ，x）　求向量函数f关于自变量x(x也为向量）的jａcobian矩阵。
可以用help　ｄifｆ， help jacｏbian查阅有关这些命令的详细信息
【实验方法与步骤】
　练****1　　,ｙ的偏导数
>>clｅar；　 syms x　y；
＞>z＝ｘ^4—8＊x＊ｙ+2＊y^2－3;
>〉diff（z，x）
＞〉diff(z,y)
结果为
ans　=4*x^3－8*ｙ
　ans =-8＊x+4*y
即再求解正规方程,,当方程组不存在符号解时，sｏlｖe将给出数值解。求解正规方程的MATＬＡＢ代码为：
＞>ｃｌear；
〉〉［x，ｙ］=solve(’4＊ｘ＾3—８＊y=0＇，＇-8＊x+４*y=0’，'x’,’y'）
结果有三个驻点,分别是P(－2,－4），Q（0,０)，Ｒ（2，4)．下面再求判别式中的二阶偏导数:
>>cleaｒ; ｓyms x　ｙ；
〉＞z=x^4-8＊x*y+2＊ｙ^2-3；
＞>A=diff（z,x,2）
>＞B=diff（ｄiff（z,x），y）
>＞C=difｆ（z，y,２）
结果为
A=2＊x^2
B　=—8
　　Ｃ ＝4
由判别法可知和都是函数的极小值点，而点Q（0，0）不是极值点，实际上,和是函数的最小值点。当然，我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点。
>〉cleaｒ；　
>>x=-5:0。2:5；　　y＝—5:0。2：5；
〉＞［Ｘ，Y］＝mesｈgｒid（x,ｙ）;
〉〉Z＝Ｘ。^4-8*X．＊Y+2＊Y.＾2—3；
＞＞mesｈ(X,Y,Z）
>＞ｘlabｅl（’x’），ylaｂel（'y＇），zlabｅｌ（’z’）
结果如图6。1
图6。1 函数曲面图
可在图6。１种不容易观测极值点与鞍点,这是因为ｚ的取值范围为[－500，１00］,是一幅远景图，局部信息丢失较多,观测不到图像细节。可以通过画等值线来观测极值。
〉〉coｎtour（X，Ｙ,Z, 600）
>〉xlａbeｌ('x＇），ylaｂeｌ('y')
结果如图6。2
　等值线图
由图6．2可见，随着图形灰度的逐渐变浅，函数值逐渐减小,图形中有两个明显的极小值点和。根据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向，且指向函数增加的方向。由此可知,极值点应该有等高线环绕，而点周围没有等高线环绕,不是极值点,是鞍点。
练****2 求函数在条件下的极值．。构造Lａgｒange函数

>〉cｌeaｒ； ｓｙms x ｙ　k
＞>ｌ=x*y+k*(x+y—１）;
>〉ｄifｆ（ｌ，ｘ)
〉〉diff（ｌ，ｙ)
〉〉ｄiｆf（l，k）
得再解正规方程
〉>cｌｅａr；　ｓyms x ｙ k
>>［ｘ,y,ｋ］=ｓolve('y+k=0’，＇x＋ｋ=0'，’ｘ+ｙ－1=0＇,'x’，'y’,’k’）
得进过判断，此点为函数的极大值点，此时函数达到最大值.
练****3 抛物面被平面截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
这个问题实际上就是求函数

求Ｌａg