将矩阵化为约当标准型.docx

补充:si1 〜"I1siPAP1PsiA1p1Padjs|ApidetsiA(s1)(s2)(s(s1)2(s2)1)(s2)(s1)2p1(s1)P1(s1)(s2)A的特征多项式det(IA)( 1)2( 2)有两重根1和单特征值3 2,凡是在adjsiA中的公因子则必然和detsiA可以相消。经过线性变换后,系统矩阵成为对角线矩阵形式的状态空间表达式,特别指出,如果nn维矩阵A由下式给出01001A0001012n1并且其特征值1,2,n互异,作非奇异线性变换XP〜,则化A为对角线标准型矩阵100P1AP020000n其中,P为范德蒙德(Vandermond矩阵。即1 1 12 3 n1n1n1n1n123n补充:设约当块数为q和q个mi(约当块的阶数)。A矩阵惟一决定的约当型矩阵式J1J2J2Jq设变换矩阵p与J具有同样阶数组的分块矩阵型令P[p1p2 pq]即,pi是nmi阶矩阵APPJJ1A[p1 p2pq] [p1p2pq]J2Jq根据分块矩阵的乘法规则,有[Ap1Ap2Apq] [p1J1p2J2pqJq]上式实际上是q个等式,即ApipiJi,i1,2,,q将nmi阶矩阵p写成列向量形式,于是有R[Pi1 Pi2 Pimq]APi1 Pi2 Pimi] [Pi1 Pi2即Pimi]Apii iPiiAPi2 Pii iPi2APmiPmiiPm也可写成(iI A)Pii 0(iI A)Pi2 Pii(i1 A)Pimi Pimii顺序解以上方程组就可以确定pi的mi个列向量。这些列向量中只有第一个Pii是对应于i的特征向量,而其余的mii个向量Pi2, ,Pimi,称之为对应特征值i的广义特征向量,可由上式递推解出设矩阵A的重特征值为i,代入式(ilA)Pii0中,即由(iIA)Pii0可求出A的对应于i的特征向量。有上式解出的线性独立特征向量的个数,就是该特征值对应的约当块数,或表示为iinrankiIA降秩数ii就是对应i的线性无关特征向量个数,或者是对应 i的约当块块数。换句话说,矩阵A的特征值分组i,2,q中,有i2 aii。将式中计算P12的式子,(11A)P12 P11两端同时乘以(JA),(1IA)2p12(i1A)pii 0该方程线性无关的解的个数是2nrankiIA,但这个数目中包括p“的个数,即ii。所以,解出线性无关的列向量Pi2的个数,12rank11Arank11也就是对应i的大于或等于2阶约当块的块数。例将已知矩阵A化为约当型2i 1 00 2 10 0 2A321212解:先求A的特征多项式,因为A矩阵是对角分块矩阵,所以特征多项式是每个对角分块矩阵特征多项式的乘积,即(sIA)(slaA)(sl2 A2)(SI1 A3) (s2)6将特征值2代入式11nrank」A,求约当型中的约当块数。01000100011nrank2IA6rank 1 =6-3=31—2210由此,由A矩阵化成的约当型共有3个约当块。2然后,将 2代入12rank1IArank1IA求出约当型中大于等于2阶的块数0********** 3rank2IA3rank 31 200000所以,由A矩阵化成的约当型将有一个1阶块,两个大于或等于2阶的块。再将将 2代入,3rank11A?rank11A',求出约当型中大于等于3阶的块数|13 1rank2IA3 101所以,由A矩阵化成的约当型共有3个约当块,其中一个1阶块,一个2阶块,一个3阶块,即21002110JPAP0221022设i是系统的一个特征值,若存在一个n维非零向量Pi,满足APi iPi或(ilA)Pi0则称Pi为系统相对于特征值i的特征向量。例如:系统矩阵为01A2 3试求其特征值和一组特征向量。解:由系统的特征方程12IA 2 3 202 3系统的特征值为1 1,2 2设对于特征值1,2的特征向量Pl,P2分别为PP11P12P2P21P22(iIA)Pi0(i1,2)得到(1IA)Pi12(2IA)P222121P21则有PnP12 0P1p21P222P21P220P11p12P111P211P彳,P22P121P221,P22P12取P11 P21 1,, 21j,其对应的特征向量也是复数向量,P1 .,P21j11j变换阵和它的逆矩阵都是复数矩阵,即111P P11 1jj1j1j2 1jj变换后的结果A~也是复数矩阵,即