将矩阵化为约当标准型.doc

补充:??????11111~~??????????PAsIPPAPsIAsI=????1~det~???PAsIAsIadjP=122)2()1()1()2)(1()2)(1(??????????????????PsssssssP=1)2)(1()1(22????????????????PsssssP矩阵A的特征多项式)2()1()det(2???????AI有两重根21321??????和单特征值,凡是在??AsIadj?中的公因子则必然和??AsI?det可以相消。经过线性变换后,系统矩阵成为对角线矩阵形式的状态空间表达式,特别指出,如果nn?维矩阵A由下式给出??????????????????????12**********nA?????????并且其特征值n????,,21互异,作非奇异线性变换xPx~?,则化A为对角线标准型矩阵??????????????nAPP?????????0000000211其中,P为范德蒙德(Vandermond)矩阵。即?????????????????113**********nnnnnnP?????????????补充:设约当块数为q和q个im(约当块的阶数)。A矩阵惟一决定的约当型矩阵式???????????????qJJJJ?21设变换矩阵p与J具有同样阶数组的分块矩阵型令][21qpppP??即,ip是imn?阶矩阵。则PJAP????????????????qqqJJJppppppA???212121][][根据分块矩阵的乘法规则,有][][221121qqqJpJpJpApApAp???上式实际上是q个等式,即qiJpApiii,,2,1,???将imn?阶矩阵ip写成列向量形式,于是有][21imqiiipppP???????????????iiiimiiiimiiippppppA???111][][2121???即?????????????imiimimiiiiiiippApppAppAp???121211?也可写成????????????????1121)()(0)(imiimiiiiiiippAIppAIpAI????顺序解以上方程组就可以确定ip的im个列向量。这些列向量中只有第一个1ip是对应于i?的特征向量,而其余的1?im个向量,,2,imiipp?称之为对应特征值i?的广义特征向量,可由上式递推解出。设矩阵A的重特征值为1?,代入式0)(1??iipAI?中,即由0)(111??pAI?可求出A的对应于1?的特征向量。有上式解出的线性独立特征向量的个数,就是该特征值对应的约当块数,或表示为??AIrankn???111??降秩数11?就是对应1?的线性无关特征向量个数,或者是对应1?的约当块块数。换句话说,矩阵A的特征值分组q????,,21中,有1121a???????。将式中计算12p的式子,11121)(ppAI????两端同时乘以)(1AI??,0)()(1111221?????pAIpAI??该方程线性无关的解的个数是??21AIrankn???,但这个数目中包括11p的个数,即11?。所以,解出线性无关的列向量12p的个数,????21112AIrankAIrank???????也就是对应1?的大于或等于2阶约当块的块数。例将已知矩阵A化为约当型。??????