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数形结合思想例题分析一、构造几何图形解决代数与三角问题:1、证明恒等式:例1 已知x、y、z、r均为正数,且 x2 y2z2,z x2 r2 x2求证:rz xy.Cy r xA Bz分析:由x2 y2z2,自然联想到勾股定理。由z x2 r2。从而可以作出符合题设条件的图形(如图) 。对照图形,由直角三角形面积的两种算法,结论的正确性一目了然。证明:(略)小结:涉及到与平方有关的恒等式证明问题,可构造出与之对应的直角三角形或圆,然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。2、证明不等式:例2 已知:0<a<1,0<b<1. 求证a2 b2(1 a)2 b2a2 (1b)2(1 a)2(1 b)22 :如图,作边长为 1的正方形 ABCD,在AB上取点E,使AE=a;在AD上取点G,使AG=b,过E、G分别作EF//AD交CD于F;作GH//AB交BC于H。设EF与GH交于点O,连接AO、BO、CO、DO、AC、△ AOG、△BOE、△COF、△DOG均为直角三角形,因此OA a2 b2OB (1OC (1a)2a)2b2(1 b)2OD a2 (1 b)2且 AC BD 2由于 OA OC AC,OB OD BD.所以:a2 b2 (1a b 12 b2a2 (12(1 a)2(1 b)22 2时,等号成立。小结:在求证条件不等式时,可根据题设条件作出对应的图形,然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。3 、求参数的值或参数的取值范围:例3 若方程范围。ax2 2x1 0 (a>0)的两根满足:x1<1,1<x2<3,求a的取值解析:画出与方程对应的二次函数yy ax2 2x1(a>0)的草图:y0 1 2 3 x0 1 2 3 x由图可知:当 x=1时,y<0;当x=3时,y> a 12 2 1 1<0;a532 2 3 1>: 9<a< 若关于x的不等式0x2 mx2 1的解集仅有一个元素,求 m的值。y 解:如图:在同一坐标系内,作出y 1与y x2mx 2的图象。题设条件等价于抛物线y x2mx 2在直线 y 0与y 1之间的带状区域仅有一个交点, 且抛物线开口向上。 由图形的直观性质可知:这个交点只能在直线 y 1上,故方程组y=10 xyy x21mx 2仅有一组解。m2 4 1 0 即 m :对于含参方程(不等式) ,可将其与对应的函数(图象)联系起来,运用数形结合思想,去揭示问题中所蕴含的几何背景,往往能为解题提供清晰的思路。4 、求最值问题:例5 已知a、b均为正数,且 a b a2 4b2 1的最小值。解:如图,作线段 AB=2,在AB上截取AE=a, CEB=b,过A作AC AB,且AC=2,过B作BD AB,且BD=1。由勾股定 D222理:CE= a 4,BD= b 1,原题即求 CE+ED的最小值。 1又如图,延长CA至G,使AG=AC,连接GE,由三角形两边之和大于第三边, A则G、E、D三点共线时,GE+ED=DG最短。作出图形,延长 DB至F,使BF//AG且BF=AG,连接GF. 2则在Rt△DGF