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高等代数拓展内容之一
高等代数教与学中应注意的几个问题
高等代数是综合大学和师范院校数学专业学生的三门主要必修基础课(分析,几何,代数)之一,是数学教育专业开设的一门主干基础课。它关于多项式和线性代数的理论不仅是许多数学分支的理论基础,也是生产实践、许多科学技术的研究工具。特别是随着计算机科学的发展,离散特征很强的高等代数在数学科学中的地位更加重要。
本课程分为线性代数和以一元多项式为主体的多项式理论两部分。线性代数部分涉及行列式、矩阵、线性方程组、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间等。
本世纪以来,随着数学的发展以及应用的需要,代数学的研究对象以及研究方法发生了巨大的变革,一系列新的代数领域被建立起来,大大地扩充了代数学的研究范围。形成了所谓近世代数学。它与以代数方程的根的计算与分布为研究中心的古典代数学有所不同,它是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律及各种代数结构—群、环、代数、域、格等—的性质为其中心问题的。为了使学生在高等代数的学****过程中对现代代数学的研究对象,基本思想和基本方法有一个初步但又是清楚的认识,我们认为下列几个基本问题是在课堂教学中必须首先解决的。
1、什么是贯穿高等代数教学的主干线?
经典代数学的研究课题是各类代数方程的求解问题,但是很容易看出,线性方程的解本质上是向量空间和矩阵理论的一个简单的应用,自Galois的理论问世以后,又使人们认识到一元高次代数方程的求根本质上是域的结构理论,特别是域扩张和域的自同构群的理论的应用。由此人们逐渐认识到,代数的基本研究对象应当是各类代数系统及其相互关系(态射),高等代数作为代数学的入门课程,应当是以中学代数知识(即经典代数学中方程的求解问题)为出发点,将学生逐步引导到现代代数学的基本研究对象上来。这应当就是贯穿高等代数课程的主干线。具体说。就是从研究线性方程的理论入手,引导出向量空间和矩阵的基础理论,在此基础上再过渡到抽象的线性空间(一类最简单的代数系统)及其态射(线性映射,特别是线性变换)的理论。从研究中小学中熟悉的整数理论
,经过总结提高成为有理整数环,再过渡到一元与多元的多项式环。通过高等代数课程的教学。使学生初步接受抽象代数学的基本思想,并接受抽象代数学基本方法的初步训练,这应当是此课程教学的基本要求。
2、在教学中如何贯彻认识论或教育学的基本原则?
作为大学低年级的入门课程,其理论的阐述应当符合人的认识规律,即由浅入深,从具体到抽象,由形象直观到理性思维。例如,通过分析线性方程组结构的直观上的特点导出向量空间和矩阵及其运算的基本理论,以具体的齐次线性方程组有无非零解来导出向量组线性相关与无关的抽象概念等等。在学生熟悉了具体的向量空间和矩阵之后,再过渡到抽象的线性空间和线性映射理论。通过学生熟练掌握的整数及其运算上升到有理整数环,以具体的有理整数环为范例阐述因子分解理论及商环理论(不给出一般定义),再过渡到一个或多个不定元的多项式环。在教学中,我们遵循这个原则来处理各个章节中基本概念的引入及基本理论的展开。
在一些线性代数教材中,通过三维几何空间来引入一般向量空间,这一做法有如下缺点:首先,现在高等代数与解析几何常常并列开,学生在学****线性代数前并末熟悉三维几何空间中的向量理论(仅在中学物理中知道力、速度等向量的简单概念),不能作为较踏实的出发点