高等数学与初等数学有什么不同.ppt

高等数学与初等数学有什么不同?它们各自研究的对象和方法是什么?
大千世界万事万物,无不在一定的空间中运动变化,而在这过程
中都存在一定的数量关系。
数学——研究现实中数量关系与空间形式的科学。
绪论
阿基米德圆锥曲线的研究,变速运动,坐标系的出现是数学的转折点。
初等数学:形式逻辑。孤立,静止,一个一个的数。
微积分——无穷小量分析
在微积分中要加强而不是回避逻辑,要从直观上理解和分析漂亮的概念,严密性不妨碍直观理解。学会方向思维。
21世纪的高科技——“数学技术”,不仅是工具,而且从后台走到了前台。要明白:(1)数学作为科学方法的效力,他应有的统一与美;(2)数学的应用,最好的学****就是用?要培养应用数学的意识、兴趣和能力。
说明:
记号f和f(x)的区别: 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值.
说明:
为了叙述方便, 常用记号“f(x), xD”或“yf(x), xD”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .
说明:
函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g”、“F”、“”等, 此时函数就记作yg(x)、 yF(x)、y(x)等.
但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.
三、函数
设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为
yf(x), xD,
其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.

定义
构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.
如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.
函数的两要素
函数的定义域通常按以下两种情形来确定:
对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.
函数的定义域
对抽象地用算式表达的函数, 其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的自然定义域.
求函数的定义域举例>>>
单值函数与多值函数
在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数.
如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个xD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数.
例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:
此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支
表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法).
用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的点集
{P(x, y)|yf(x), xD}
称为函数yf(x), xD的图形.
函数的表示法
此函数称为绝对值函数,
其定义域为D=(-, +),
其值域为Rf =[0, + ).
例6
例5 函数 y=2.
这是一个常值函数,
其定义域为D=(-, +),
其值域为Rf ={2}.
函数举例
此函数称为符号函数,
其定义域为D=(-, +) ,
其值域为Rf ={-1, 0, 1}.
例8 函数y=[x].
例7
注: 设x为任上实数, 不超过x的最大整数称为x的整数部分, 记作[x].
此函数称为取整函数,
其定义域为D=(-, +),
其值域为Rf =Z.
例9
此函数的定义域为D=[0, 1](0, +)=[0, +).
f(3)
=1+3=4.
分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.