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河北师范大学硕士学位论文拓扑等价流的拓扑压姓名:杨凤红申请学位级别:硕士专业:基础数学指导教师:何连法 摘要设(X,d)是紧致度量空间,妒={{p。:X叶硼为连续流,c(x,R) 表示x上所有连续实值函数的Banach代数,其上具有上确界范数. (·)表示x所有(-)一不变的 Borel概率测度构成的空间,E(·)={p∈M(·)I肛是遍历的}。首先利用变分原理给出流的测度压的定义. /定义1()对f∈c(x,冗),m∈M(妒),称 j)m(妒,f)=hm(妒1)+/fldm 为流妒关于,及m的测度压。这里k(∽)是妒。关于m的测度熵. 在证明本文主要结果之前,先给出几个引理及其推论. 引理1(Egoroff Theorem) 设g:X_x为连续映射,且p∈M(9)。若可测函数列{g。)满足:g。。,则对任意的E>0存在可测集B∈8使得p(B)>l一￡且g。在B上一致收敛到9。,即对任意叩> l目k(z)一肋(z){<叩,Yx∈13,n>N. 引理2(Shannon—McMillan—Breiman Theorem) 设g:X_x为x上的连续映射。对“∈M(g)及x上的任意有限划分∈,存在p一可积函数,记为比,满足: 1 (1)_。旦‰(一i 109p(‰(z)))。心(z)' (2)./p￡(z)dp=^p(g,∈), 这里‰‘9,f)=。旦%(一寺篆∥(A)log卢(肖))是亨关于f的熵。由上述引理可得以下两个推论。推论1()对充分小的数,>0,令 4ir(∈)2‰∈引Ⅳ(A。)<exp(~凡(~(玑f)一r))), 式,(∈)= U A。, An∈』二.,(f) 则对某个正数J>0存在N使得当n>Ⅳ时 p(氍,(∈))>6. 推论2()对充分小的数,>o,令《r(∈)2‰∈引p(如)>exp(~扎(‰(圳+伽, 鞋,(∈)= U A。, An∈A支,(∈) 则存在某个正数d>0及Ⅳ>0使得当礼>Ⅳ时舭(黠,(∈))>2d. 对m∈E(妒),,∈c(x,R)及d∈(o,1).令 Qm(妒,,,￡,t,6)=inf{∑exp/o‘,。妒。扛)dsIF是m一钡扎室2 l—J z∈F 0 ’。一”?2‘“的集合的(￡,s)一生成集} Qm(妒,,,E,6)=lira。s。up÷l。gQt 。(妒,,,￡,≠,d),4 —’-0。0 7’ qm(妒,,,5,d)=l￡i.+ra+i。。nf÷logQ。(妒,,,￡,。,J), 及Qm(㈣=?limQ。(㈨E,6), qm(妒,,)2嬲gm(妒,,,E,6). 2 由此可得本文的第一个结果. 定理l(文中定理2 1)设x是紧致度量空间,妒={妒。:X叶x} 为没有不动点的流。对m∈E(妒)及,∈c(x,R)我们有 Qm(妒,,)=‰(妒,,)=hm(妒1)+/fdm=只。(妒。,,1), 这里,-(z)=詹,。‰(x)ds,Vx∈X 证明:分两步完成。第一步:Q。(妒,f)≤hm(妒1)4-,fdm. 这一不等式主要利用引理1及推论2找到了m~测度≥l一6的集合风,再由Q。(妒,,)的定义而得。第二步:q。(妒,,)≥hm(妒1)+,fdm. 这里关键是证明以下断言: 对任意r>0及x的任意有限划分 f=Al,.,Ak,Ak+l 满足: l4,,A2,?,m两两不交的闭集。 2Ak+l=x\U冬lAi 则有 r ’+qm(妒,,)≥hm(妒1,∈)+/fdm- 该断言的证明主要利用了引理1和推论1找到了m一测度≥1-d 的集合岛c,以及【2】中定理有关生成集的基数的估计. 。], 3 砖辑:ttI“。∥} 本定理说明紧致度量空间上没有不动点的连续流的测度压可由生成集定义。 f以下是这篇文章的第二个结果,它给出了拓扑压的变分原理的又一种表述方式. 定理2()设妒为X上没有不动点的连续流,对任意f∈c(x,R),我们有 P(v,f)=sup{Pm(妒1,f1)1m EE(妒)) =sup{Pm(妒l,fi)Im∈E(妒1)) 这里,l(z)=So'f o妒。(x)ds Vx∈X. 证明:主要证明下述不等式 P(V,f)=sup{Pm(妒l,f1)[m∈E(妒)) ≥sup{Pm(【pI,f1)Im EE(妒1)} 为此对每个“∈E(V1)及t ER,令他(B)=p(慨(B)),对B∈8; m(B)=Z1m(B)班,对B∈8 我们得到 Supp(m)=U Supp(1z￡). 蚝【o,1l 由上述等式及【8]中有关连续映射的测度压的定义即得所需不等式。利用定理1、定理2及文献[1]得到如下有关拓扑等价的流的拓扑熵的结果,即本文第三个结果。 4 定理3