高等数值分析(曲线拟合).ppt

高等数值分析
——曲线拟合
XXX

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精选课件
主要内容
拟合的基本概念和最小二乘原理
解线性超定方程组
最小二乘拟合问题的一般解法
线性组合模型下最小二乘拟合的一般解法
常用的线性组合模型的最小二乘解
广义最小二乘拟合问题
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精选课件
为了测定两个变量x和y之间的函数关系，可以通过实验得到一系列离散的数据点 ，然而这些数据点可能存在一定的观察误差。如何利用这些带误差的数据点得到变量之间的函数关系呢？
拟合的基本概念和最小二乘原理
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精选课件
x
把数据点在坐标图上描出，得到散点图
由于数据量大，高次插值会引起严重误差，分段插值则会使函数非常复杂，并且保留了原始数据的误差。
利用线性函数拟合
插值
观察到 x 和y 之间大致呈线性关系
我们不要求逼近函数通过所有数据点，而是希望逼近函数的形式相对简单，并且与各数据点的偏差在某种标准下最小化，这就是拟合。
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插值与拟合这两类函数逼近方法的比较
插 值
拟 合
适用条件
给定一系列原始数据点
原始数据一般比较精确
数据量少
给定一系列原始数据点
原始数据一般带有一定的误差
数据量较大
逼近函数
常常采用多项式作为插值函数
当数据点较多时，采用单个高次多项式进行插值会引起龙格现象，产生震荡，因此需要采用分段、样条等插值方法，此时插值函数是一个分段函数。
可以根据实践者的经验知识和实际应用需要，选择简单、合适的函数类型进行拟合。拟合函数可以是多项式、三角函数、指数函数等各种不同形式。
特点
插值函数 y=φ(x) 必须通过所有插值点，即对任意 ，有
不要求拟合函数 y=p(x) 一定通过数据点，而要求 p(x)能反映数据点的变化趋势，即偏差 在某种度量标准(如最小二乘标准) 下最小
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评价拟合函数数 y=p(x) 与原始数据之间的偏差情况（如下图）通常有以下几种方法：
(1) 使拟合函数与各个原始数据的偏差的绝对值的最大值最小化，即最小化
的值。其中 为原始数据。这实际上对应于向量
的∞-范数
(2) 使拟合函数与各个数据的偏差的绝对值之和最小化，即最小化
的值。这实际上对应于向量 r 的1-范数。
(3) 使拟合函数与各个数据的偏差的平方和最小化，即最小化
的值。这实际上对应于向量 r 的2-范数的平方。
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定义1 最小二乘拟合问题
给定数据点 选择合适的函数类型Ф，求该函数类型中的一个函数 ，使得 p(x) 在各个数据点上的偏差
的平方和最小化，即
这个最小化问题即为最小二乘拟合问题，拟合函数 p(x) 称为上述实验数据的最小二乘解，求拟合函数 p(x) 的过程则称为曲线拟合的最小二乘法。
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例1、已知气压存在随着海拔高度的上升而下降的关系，表1给出了在某地粗略测得的不同海拔高度时的气压值。利用这些数据，试寻找气压与海拔高度之间的所满足的大致关系。
表1 气压与海拔高度关系表
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解: (1)取海拔高度为自变量 x，气压为因变量 y，根据表1所给的40个数据点做出如图1所示的散点图，观察 x 与 y 之间的分布规律。
图1 气压与海拔高度散点图
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设y=ax+b,把40个数据点代入，得到方程组
0a+b=
20a+b=1011
……
780a+b=
根据最小二乘原理，把问题转换为最小化问题，使拟合函数与数据点的偏差的平方和最小化，即
(2) 从散点图可以看出 y 与 x 大致成线性关系，不妨设拟合函数为 y=ax+b。
转换
2个未知数，40个方程，无解！！
这个问题就可解了！
这类方程个数大于未知数个数的方程组称为超定方程组，一般来说是无解的。
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