西南交通大学数学建模校赛C题景区灭火样稿.doc

西南交通大学
大学生数学建模竞赛
题目： B
参赛队员1
参赛队员2
参赛队员3
姓名
刘童超
王枝
李若晗
学号
5728
4702
4693
学院
数学学院
信息学院
信息学院
专业
统计
计软
计软
电话
Email
西南交通大学教务处
西南交通大学试验室及设备管理处
西南交通大学数学建模创新实践基地
景区灭火数学模型
【摘要】
本文采取网格划分方法，将连续性问题离散化，建立了图论及其相关模型。同时利用MATLAB图形处理能力进行了三维制图及一维二维插值，利用C++进行了Dijsktra等算法编程计算，进而合理处理了问题。
第一问中，考虑到等高线缺失是因为“破损”，我们舍弃了曲线模拟，而采取了一维插值方法，并用MATLAB给出了插值曲线，并直观将曲线拟合至原等高线，发觉其效果良好。对于插值结果和直观观察差异，我们给出了误差分析，并解释了原因。
第二问中，在已知等高线高度情况下，我们采取了二维插值方法，并利用MATLAB软件画出了三维地形图，将景区外貌直观展现了出来，在计算地表面积时，我们采取了划分网格、近似求值方法，利用MATLAB所给出网格平面和水平面夹角，估算出了地表面积，，对于其误差，我们也深入给出了分析。
第三问中，我们利用第二问中所求出高度矩阵，用网格中心点替换此网格，给出了任意两点空间距离，即任意两点权重，从而建立了一个图论模型，对于该无向图，我们采取Dijkstra算法利用C++，确定出了最好路线，并利用MATLAB作图直观将路线做了出来，并估算出最优路线空间距离长度约为4567m。
第四问中，我们将着火点简化为多个最有可能发生火灾而且救援不方便点，建立了一个目标计划模型，
然后在一定范围内，对消防点进行了假设，利用第三问C++程序求出了到着火点最长时间，移动消防点求出了最优消防站地址。计算得出结论：在给定坐标系下，最优消防站点位置在点（28，25）。
【关键词】：网格离散化 大型稀疏阵 三次样条插值 最短路线 MATLAB C++
一、问题提出
某国家级森林公园地形等高图图1所表示。因为该风景区植被丰富，拥有大量国家级关键保护动植物，所以旅游管理部门在图1A点设置了景区消防站，当景区发生火灾时能立即控制和消亡火情。
图 1
说明：该图水平及竖直方向以10m为单位，山高以50m为单位。
请你利用所学数学知识回复以下问题：
1、因为人为原因，图1所表示等高图出现了局部破损情况，请利用数学模型修补好该地图；
2、在完成第一问基础上，结合数学模型建立该景区三维地形图，并估量该景区地表面积；
3、某天图1所表示B点发生了火灾，于是需要从景区消防站派遣消防员去B点灭火，建立模型确定最好灭火路线。
4、假如需要对景区消防站进行重新选址，请建立模型确定合理消防站地址。
二、模型假设
（一个像素单位为10m），相邻两等高线高程差为50m；
，故假设消防员步行灭火；
；
，其等高线之间山体均匀线性改变；
；
。
三、符号说明
1.——第个网格，即其编号方法为先行后列，
2. ——表示整个景区表面积；
3. ——表示第个网格面积；
4. ——表示第个网格和水平面夹角；
5.——表示点到点权值。
四、问题分析
第一问中，需要修补该地形图缺失等高线，关键有两种方法:一是平面插值，二是曲线拟合。因为曲线拟合标准是使各点距拟合曲线距离平方和最小，故拟合曲线基础不过已知点。而考虑到题目所给前提为“等高图破损”，故等高线需过已知点，所以我们选择平面插值方法。插值方法有很多个，比如拉格朗日插值，艾米尔特插值，三次样条插值等，我们能够依据各自优劣来选择其插值方法，进而利用MATLAB软件编程计算，绘制出等高线。
第二问中，需要画出景区三维地形图，经过分析，能够利用MATLAB强大数据处理功效对问题进行求解。对于未知坐标点高程，能够用MATLAB进行二维插值，从而绘制出地形图。在需要计算地表面积时候，能够依据假设5平面假设，利用分块求和方法，计算出地表面积。
第三问中，需要寻求最好路线，使消防员由消防站A赶到火灾点B时间最短，即在假设3速度均匀条件下，求一条最短时间路