高等代数讲义ppt第七章 线性变换.ppt

线性变换
第七章 线性变换
1
ppt课件
线性变换
§1 线性变换的定义
§1 线性变换的定义
一、线性变换的定义
定义1 设V与W是数域P上的线性空间，A 是V到W的一个映射，
如果下列两个条件满足，则称 A 是V到W的一个线性映射：
特别：当W = V时，A 称为线性空间V的一个线性变换。
(1)
(2)
2
ppt课件
线性变换
§1 线性变换的定义
例1 判断下列所定义的变换 A 是否为线性变换。
(1) 在线性空间V中，A x = x+a，a为V中一固定向量；
(2) 在线性空间V中，A x = a，a为V中一固定向量；
(3) 在P [x]中，A f (x) = f (x+1) ；
(4) 在P [x]中，A f (x) = f (x0)，x0为P中一固定数；
例2 在P 3中，下面定义的变换 A 是否为线性变换。
(1)
(2)
(3)
(4)
3
ppt课件
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的
向量组。
性变换。证明：
例3 设
是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线
4
ppt课件
线性变换
§2 线性变换的运算
§2 线性变换的运算
一、线性变换的加法和数量乘法
定义1 设A，B∈L(V)，对A 与B 的和 A + B 定义为：
结论1 对∀A，B ∈L(V)，有 A +B ∈L(V)。
线性变换的加法满足以下运算规律：
(1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
(2) A + B = B + A
5
ppt课件
线性变换
§2 线性变换的运算
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。
线性变换的数量乘法满足以下运算规律：
(1) (kl)A = k(lA)
(2) (k+l)A = kA + lA
(3) k(A + B) = kA + kB
(4) 1A = A
结论3 设V是数域P上的线性空间，L(V)对以上定义的加法和
数量乘法也构成数域P上的一个线性空间。
6
ppt课件
线性变换
§2 线性变换的运算
定义3 设 A, B∈L(V)，对A 与 B 的乘积 AB 定义为：
结论4 对∀A, B ∈L(V)，有 AB ∈L(V)。
线性变换的乘法满足以下运算规律：
(1) A ( B + C ) = AB + AC
(2) ( B + C )A = BA + CA
(3) A ( BC ) = ( A B )C
(4) k( AB ) = ( kA )B = A ( kB )
注意：线性变换的
乘积不满足交换律。
例1 在R 2中，设A(x, y)=(y, x)，B(x, y)=(0, x)，则A, B是R2中的
线性变换，求A + B，AB，BA，3A-2B。
二、线性变换乘法
7
ppt课件
线性变换
§2 线性变换的运算
三、可逆的线性变换
定义4 设 A∈L(V)，若存在B∈L(V)，使得 AB = BA = E，则称
A 是可逆的，且B 是 A 的逆变换，记为：B = A-1。
结论5 若A∈L(V)，且 A 是可逆的，则A-1唯一，且 A-1∈L(V)。
简单性质：
(1) ( A-1)-1 = A
(2) ( AB)-1 = B-1A-1
例3 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换，V1与V2是V的子空
例2 设
是线性空间V的一组基，A 是V的一个线性
变换，证明：A 可逆当且仅当
线性无关。
证明：A 可逆当且仅当
间，且
8
ppt课件
线性变换
§2 线性变换的运算
四、线性变换的多项式
线性变换的幂 设 A∈L(V)，由于线性变换的乘法满足结合律，
线性变换，记为: An。
若A是可逆的，定义A-n = (A-1)n。对任意的A∈L(V)，定义A0=E。
根据线性变换幂的定义，其指数运算规律为：
若A是可逆的，则以上法则对任意整数m，n都成立。
注意： 由于线性变换的乘法不满足交换律，故( AB )n ≠ AnBn。
因此对任意取定的正