复数经典例题.docx

复数经典例题
经典例题透析
类型一：复数的有关概念
例1 •已知复数
z - 27^-6 (a2 5a 6)i (a R)，试求 a 1
实数a分别取什么值时，z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
思路点拨：根据复数z为实数、虚数及纯虚数 的概念，判断实部与虚部取值情况•利用它们的 充要条件可分别求出相应的
解析：
(1 )当z为实数时，
■^有 a 5a 6 0 a 1 或 a 6
a2 1 0 a 1
•••当a 6时，z为实数.
当z为虚数时，
a 5a 6 0 a
a2 1 0 a
.•.当 a€( — g
U( 6，
(3)
2
a
2
a
a值.
—1)
Z为虚数.
(-1, 1)u(1, 6)
+x)时，
当z为纯虚数时，
5a 6 0 a 1 且a 6 7a」o a 6 a
1
・•・不存在实数a使z为纯虚数.
—2
a
总结升华：由于a€ R,所以复数z的实部与虚 部分为匚X与a2 5a 6.
a 1
求解第（1）小题时，仅注重虚部等于零是 不够的，还需考虑它的实部是否有意义， 否则本 小题将出现增解；
求解第（2）小题时，同样要注意实部有意 义的问题；
求解第（3）小题时，既要考虑实数为0 （当 然也要考虑分母不为0）,还需虚部不为0,两者 缺一不可.
举一反三：
【变式1】设复数z=a+bi （a、b€ R），贝U z 为纯虚数的必要不充分条件是（ ）
A. a=0 B . a=0 且 b 工 0 C . a 工 0 且 b=0 D. a^ 0 且 0
【答案】A;由纯虚数概念可知：a=0且bM 0 是复数z=a+bi （a、b€ R）为纯虚数的充要条件. 而题中要选择的是必要不充分条件，对照各选择 支的情况，应选择A.
【变式2】若复数（a2 3a 2） （a 1）i是纯虚数，则实 数a的值为（）
或 2 D.-1
【答案】B ； J (a2 3a 2) (a 1)i是纯虚数，/• a 3a 2 0 1 0，艮卩 a 2.
【变式3】如果复数(m2 i)(1 mi)是实数，则实 数 m=( )
A. 1 B. - 1 C. 42

【答案】B;
【变式4】求当实数m取何值时，复数 z (m2 m 2) (m2 3m 2)i 分别是：
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数.
【答案】
当m2 3m 2 0即m 1或m 2时，复数z为实数；
当m2 3m 2 0即m 1且m 2时，复数z为虚数；
2 r c
当m2 m 2 0即m 1时，复数Z为纯虚数.
m 3m 2 0
类型二 :复数的代数形式的四则运算
：
(1) in (n N ) ； (2) (1 i)8
(3) (1 2i) (1 2i)； (4) (1 4粤 i) 2 4i
3 4i
解析：
(1) •/ i2 1，a i3 i2 i i， r i2 i2 1，
同理可得:
当n
4k
1 (k N
)时，i4k1 i4k i
4、 k . .
(i ) i i
当n
4k
2( k N
)时，i4k2 i4k i2
1,
当n
4k
3( k N
4k 3 ・ 4k . 3
)1时，i i i
i
当n
4k
4( k N
4k ・4k・4
)时，i i i
4\ k
(i ) 1,
i
(n
4k 1, k N)
• n
1
(n
4k 2, k N)
・・i
(n
、（n
N )
i
4k 3, k N)
1
(n
4k 4, k N)
(2) (1
i)8 [
(1 i)2]4
(2i)4 24i4 16
⑶
(1 2i) (1 ：
2i)
(1 2i )(1 :
2i) 1
2 (2i)2
4i 3 4i 3 4
(1 2i)(1 :
2i)
12 (2i)
i2 5 5 5
i
(4) (1
4i)(1
i) 2
4i 1 4 3i 2 4i
7 i (7 i)(3 4i)
IP
3
4i
3 4i
3 4i 32 42
1 2i
1 2i