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复数经典例题经典例题透析类型一:复数的有关概念 a2?7a?62?(a?5a?6)i(a?R) ,试求实数 a 分别取什么值时,例 1 .已知复数 z?2a?1 z 分别为: (1 )实数;(2 )虚数;(3 )纯虚数. 思路点拨:根据复数 z 为实数、虚数及纯虚数的概念,判断实部与虚部取值情况. 利用它们的充要条件可分别求出相应的 a值. 解析: (1 )当 z 为实数时, ?a2?5a?6?0?a??1 或 a?6? 有?2???a?6 , ??a??1?a?1?0 ∴当 a?6 时, z 为实数.(2 )当 z 为虚数时, 2??a?5a?6?0?a??1 且 a?6 有?2???a??1 且 a?6 , ??a??1?a?1?0 ∴当a∈(- ∞,- 1)∪(- 1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时, z 为虚数.(3 )当 z 为纯虚数时, ?a2?5a?6?0?a??1 且 a?6? 有?a2?7a?6???a?? ?0?a?6?2?a?1 ∴不存在实数 a使z 为纯虚数. a2?7a?62a?5a?6. 总结升华:由于 a∈R ,所以复数 z 的实部与虚部分为与 2a?1 ①求解第( 1 )小题时,仅注重虚部等于零是不够的,还需考虑它的实部是否有意义,否则本小题将出现增解; ②求解第( 2 )小题时,同样要注意实部有意义的问题; ③求解第(3) 小题时, 既要考虑实数为 0( 当然也要考虑分母不为 0), 还需虚部不为 0 ,两者缺一不可. 举一反三: 【变式 1 】设复数 z=a+bi (a、b∈R) ,则 z 为纯虚数的必要不充分条件是( ) A. a=0 B. a=0 且b≠≠0且 b=0 ≠0且b≠0 【答案】A; 由纯虚数概念可知: a=0 且b≠0 是复数 z=a+bi (a、b∈R) 为纯虚数的充要条件. 而题中要选择的是必要不充分条件, 对照各选择支的情况,应选择 A. 【变式 2 】若复数(a2?3a?2)?(a?1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( ) 或2 D.-1 【答案】 B;∵(a2?3a?2)(?a1)?i2 是纯虚数, ∴ a?3a?2?0 且 a?1?0 ,即 a?2. 【变式 3 】如果复数(m2?i)(1?mi) 是实数,则实数 m= () .- 1C . 【答案】 B; 【变式 4 】求当实数 m 取何值时,复数 z?(m2?m?2)?(m2?3m?2)i 分别是: (1 )实数; (2 )虚数; (3 )纯虚数. 【答案】(1 )当 m?3m?2?0 即 m?1 或 m?2 时,复数 z 为实数; (2 )当 m?3m?2?0 即 m?1 且 m?2 时,复数 z 为虚数; 2??m?m?2?0 (3 )当?2即 m??1 时,复数 z 为纯虚数. ??m?3m?2?022 类型二:复数的代数形式的四则运算例 2. 计算: (1) in(n?N?) ; (2)(1?i)8 (3)(1?2i)?(1?2i); (4) 解析: (1?4i)(1?i)?2?4i 3?4i 422(1) ∵ i??1 ,∴ i?i?i??i , i?i?i?1 , 同理可得: 当 n?4k?1(k?N?) 时, i4k?1232?i4k?i?(i4)k?i?i ?i4k?i2??1 , 当 n?4k?2(k?N?) 时, i4k?2 当 n?4k?3(k?N?) 时, i4k?3?i4k?i3??i 当 n?4k?4(k?N?) 时, i4k?i4k?i4?(i4)k?1 , ( n?4k?1 , k?N ) ?i??1 ( n?4k?2 , k?N )?∴ in??(n?N?) ?i( n?4k?3 , k?N ) ?? ( n?4k?4 , k?N ) ?1 (2)(1?i)8?[(1?i)2]4?(2i)4?24i4?16 1?2i(1?2i)(1?2i)12?(2i)2?4i?3?4i34(3)(1?2i)?(1?2i)???2????i 21?2i(1?2i)(1?2i)1?(2i)555 (4)7?i(7?i)(3?4i)(1?4i)(1?i)?2?4i1?4?3i?2?4i??? 3?4i3?4i3?4i32?4221?4?3i?28i25?25i???1?i. 2525 1)i的“周期性”( n?N? ) 2) (1?i)2??2i 3) (a?bi)(a?bi)?a2?b2 n 总结升华:熟练运用常见结论: 举一反三: 【变式 1 】计算: (1) (5― 6i)+( ―2― i)―(3+4i) (2) (1?2i)(3?4i)(2 ?i) (3) i?i?i???i23100 (1?i)3?(1?i)3 (4); 22(1?i