隐函数和隐函数组3.ppt

返回返回返回后页后页后页前页前页前页在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们的方程是以隐函数(组)的形式出现的, 因此在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函数(组)的微分法. §3几何应用三、曲面的切平面与法线返回返回返回一、平面曲线的切线与法线二、空间曲线的切线与法平面*四、用参数方程表示的曲面返回返回返回后页后页后页前页前页前页一、平面曲线的切线与法线曲线 L : ( , ) 0; F x y ?( ) ( ( ) ) ; y y x x x y ? ?或? ?? ?? ?? ? 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x y y y F P F P x x 0 0 0 ( , ) P x y L 为 0P在条件: 上一点, 近旁, F 满足隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数: 处的切线: 0 L P 在??? ?? ?? ?? ? 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . y x x x F P F P y y 或返回返回返回后页后页后页前页前页前页总之, 当 0 0 ( ( ), ( ) ) ( 0, 0) , x y F P F P ?时就有 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : ( ( ), ( ) ); : ( )( ) ( )( ) 0; (1) : ( )( ) ( )( ) 0. x y x y y x n F P F P F P x x F P y y F P x x F P y y ????? ? ????? ? ????法向量切线方程法线方程?例1 求笛卡儿叶形线 3 3 2( ) 9 0 x y xy ? ?? 0 (2,1) P 在点处的切线与法线. 3 3 ( , ) 2( ) 9 . F x y x y xy ? ??解设由§1 例2的讨论近旁满足隐函数定理 0 ( 3 ), 2 a F P ?这里 在点返回返回返回后页后页后页前页前页前页的条件. 容易算出 0 0 ( ( ), ( ) ) (15, 12), x y F P F P ? ?于是所求的切线与法线分别为 15( 2) 12( 1) 0, 5 4 6 0; 12( 2) 15( 1) 0, 4 5 13 0. x y x y x y x y ? ??????? ??????即即 2 : sin 0 L x y xy ? ? ?例2 用数学软件画出曲线 3230 ( , ) P ? ??的图象; MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令: syms x,y ; ezplot(x^2+y-sin(x * y),[-4,4],[-8,1]); 就立即得到曲线 L 的图象(见本例末页图 18- 6). 令容易求出: 2 ( , ) sin , F x y x y xy ? ?? 00323030 ( ) (2 cos ) 2 , ( ) (1 cos ) 1 . xP yP F P x y xy F P x xy ?? ? ??????? ? ?????返回返回返回后页后页后页前页前页前页由此得到 L 在点处的切线与法线分别为: 0P 2 2 2 2 ( 2 )( ) (1 )( ) 0, (1 )( ) ( 2 )( ) 0. x y x y ???????????? ?????????? 3 3 3 3