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第三章机器人力学分析及动力学模型
„ § 机器人静力学分析
„ § 机器人动力学方程
„ 动力学概述:
1. 内容: 力——运动
2. 描述方法:一组微分方程
3. 任务:建立机器人的动力学模型
1)正模型——已知力求产生的运动
2)逆模型——已知运动求所需的力
1
§
„研究内容
¾ 机器人与环境接触时,界
面上将产生相互作用力和力矩。
¾ 机器人的每个关节都由一个
驱动器驱动,相应的输入关节
力矩通过杆件传送给末端执行
器作用在环境和对象上。
¾ 静力学讨论当机器人静止时
在驱动器扭矩和由它产生的施加在机器人末点的力和力矩之
间的关系,这对机器人的控制是重要的。
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末点力与关节扭矩
„ 末点力
fn,n+1和Nn,n+1是操作手作用
于环境的力和力矩,为方
便,定义
⎡ f n,n+1 ⎤
F = ⎢⎥
⎣N n,n+1 ⎦ fn,n+1
为末点力。
„ 驱动力/力矩
作用点:在相邻杆件之间
定义τ=[]ττ" τ T
1 2 n Nn,n+1
为关节扭矩。3
末点力与关节扭矩的关系
„ 定理
假设关节中没有摩擦力,则
承担一任意的末点力F所要
求的关节扭矩τ由下式给
定:
τ=J T F
„ 注意:上述关节扭矩不
计重力扭矩或其它任何扭矩,
而是平衡末点力的净扭矩。
„ 称τ为相对于末点力F
的等效关节扭矩。
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定理证明(1)
„ 证明——应用虚功原理
虚位移:机械系统符合系统几何约
束的任意无穷小位移。
考虑如下的虚位移:
在各个关节的虚位移:
δqi
在末端执行器的虚位移: ,
δPe δφe
作用在机器人上的末点力和关节扭
矩所做的虚功为:
T T
δW=τ 1δq1 +"+τ nδqn − f n,n+1δPe − N n,n+1δφe
或δW = τ T δq − F T δP
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定理证明(2)
根据虚功原理,机器人处于平衡的充要
条件是对任意的符合几何约束的虚位移,
有
δW=0
注意到δP 和δq 的关系,则有
δW = τ T δq − F T δP
T
δW = τ Tδq − F T Jδq = (τ− J T F ) δq
上式中δq 为表示几何上允许位移的独立
变量,对任意的δq ,欲使δW=0 ,
必有
τ=J T F
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举例
已知:一个二自由度平面操作
手,在末端与环境表面接触并施
加力
T
F = []Fx, Fy
求相应于末点力F的等效关节扭
矩。(不考虑摩擦力)
解:前面已求得
⎡− L1S1 − L2S12 − L2S12 ⎤
J = ⎢⎥
⎣ L1C1 + L2C12 L2C12 ⎦
⎡τ1 ⎤⎡− L1S1 − L2S12 L1C1 + L2C12 ⎤⎡Fx ⎤
故可得=J T F =
⎢⎥⎢⎥⎢F ⎥
⎣τ 2 ⎦⎣− L2S12 L2C12 ⎦⎣ y ⎦
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§
„ 刚体的惯性张量
三维空间中自由运动的刚体是用惯性张量来描述它的质量分布和性质
的。以刚体的质心C为原点定义一个坐标系{C},惯性张量在{C}中表示为
一个3 × 3 对角矩阵。
2 2
I XY = xyρdv I XX = (y + z )ρdv
⎡I XX I XY I XZ ⎤∫∫∫V ∫∫∫V
⎢⎥其中 I = x 2 + z 2 ρdv
I = I I I I XZ = xzρdv YY ()
C ⎢ XY YY YZ ⎥∫∫∫V ∫∫∫V
I = y 2 + x 2 ρdv
⎢I XZ IYZ I ZZ ⎥ IYZ = yzρdv ZZ ()
⎣⎦∫∫∫V ∫∫∫V
其中对角线元素IXX、 IYY、 IZZ 是刚体以X、Y、Z三轴为旋转轴的转动惯
量,其余元素 IXY 、 IXZ 、 IYZ 为惯性积.
平行移轴定理:设标架{A} 与{C}的Z轴平行,则有
A C 2 2
I ZZ = I ZZ + m(xc + yc )
A C
I8XY = I XY + mxc yc
Zc
§ z
dm
{C} ZA {A} y
yc C
„ 刚体的惯性张量C Yc r Yc
三维空间中自由运动的刚体是用惯性张xc 量来描述它的质量分布和性质x
的。以刚体的质心C为原点定义一个坐标系{C},惯性张量在{C}中表示为
Xc Xc
一个3 × × 3 对