上海交通大学线性代数试卷.doc

上 海 交 通 大 学
线 性 代 数(C) 试 卷----A卷 2006-1-4
姓名____ _____ __班级____ ___ ___学号______ ________
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、单项选择题（每题3分，共15分）
向量组可线性表示向量组，则
(A) 当时，向量组必线性相关；
(B) 当时，向量组必线性相关；
(C) 当时，向量组必线性相关；
(D) 当时，向量组必线性相关。
2. 设三阶矩阵 ，已知伴随矩阵的秩为1，则必有
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) 。
3. 设是维非零实列向量,矩阵,，则___________
(A) 至少有－1个特征值为1； (B) 只有1个特征值为1；
(C) 恰有个特征值为1； (D) 没有1个特征值为1。
4.
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) 。
5. 设满足，若，，则
(A) ； (B) ；
(C) ；　 (D) 。
二、填空题（每题3分，共15分）
1．已知为阶方阵，不是的特征值，且，
则 。
2. 若3阶方阵有特征值 ，则行列式 。
3．已知3阶实对称矩阵的秩，且，若矩阵是正定矩阵，则常数的取值范围为________________。
4. 已知为阶方阵，是的列向量组，行列式，其伴随
矩阵，则齐次线性方程组的通解为 。
5. 设3阶方阵的特征值为1，2，3，且相似于，则行列式 。
三、计算题(每题9分,共54分)
线性方程组为 ，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。
2. 设3阶方阵满足方程 ，试求矩阵，其中
， 。
3．计算行列式，其中
，
4. 已知3阶方阵的特征值1，2，3对应的特征向量分别为。
(1) 将向量用线性表示； (2)求，为自然数。
其中：，，，。
5. 已知，，方程组有无穷多解，试求：
（1）常数的值； （2） 正交矩阵，使为对角阵。
6. 设的两个基，，；，，
（1） 求由基 的过渡矩阵；
（2） 已知向量，求向量在基 下的坐标；
(3) 求在基下有相同坐标的所有向量。
四、证明题(每题8分,共16分)
设为矩阵，证明：存在非零矩阵，使的充分必要
条件为秩。