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..页眉.. 页脚.. 第三章矩阵的分解(一) 矩阵的特征值与特征向量(Eigenvalues and EigenVectors) 1. 矩阵的特征值与特征向量解 Ax= λx运算式中的λ及其所对应的非零的向量 x,我们称λ/x为矩阵 A的特征值与特征向量。改写原式为, (A- λ I)x=0,I是单位矩阵,我们令 P(λ)= det(A- λ I)= 0,则 P(λ)的展开式称为矩阵 A的特征多项式,解出矩阵 A的特征多项式,就可得矩阵 A的所有 eigenvalues 。再将每一个 eigenvalue 代入原式中,即可求出其相对应的 eigenvectors 。例1:解矩阵 A=[ -9 -3 -16 ; 137 16; 33 10] 的特征值与特征向量。【解 1】先利用函数 poly() 求出矩阵 A的特征多项式,再用 roots() 函数, 求出特征多项式所有的根。 A=[ -9 -3 -16; 137 16; 33 10]; poly(A) % 利用一个向量来储存此多项式的系数 roots(poly(A)) ans = - - ans = - 上面输出结果中,第一个 ans 是A的特征多项式的系数, 即P()???????? 328 44 240 第二个 ans 是A的 eigenvalues : 10, 4, -6 接着针对某个特征值, 我们找出其对应之特征向量利用 rref() 函数,求出(A- λ I)的 row reduced echelon form 或是利用 null() 函数,求出(A- λ I) null space 的基底向量..页眉.. 页脚.. A=[ -9 -3 -16; 13 7 16; 33 10 ]; rref(A - 10*eye(size(A))) null(A - 10*eye(size(A))) ans =10101 -1 000 ans = - - 上面输出结果中,第一个 ans 是()AI??的 reduced row echelon form 即xxxx 132300 ???????令xt 3?,t?0 得x ttt t???????????????????????? 111 , 为 10所对应的 eigenvectors 第二个 ans 是()AI?? null space 的基底向量,这个基底向量的长度为 x,当取 t=-1 再除以 norm(x), 即可得这个基底向量。依此方法,将其他的 eigenvectors 求出。【解 2】使用 matlab 函数 eig(), eig() 有两种不同的输出形式: eig(A) 只传回 eigenvalues, 而[V,D] = eig(A) 则传回 D是由 eigenvalues 形成的 diagonal matrix; V是由 eigenvalues 所对应的 eigenvectors 形成的 matrix ,满足 A*V=V*D ,当V是 nonsingular 时,则表示矩阵 A可对角化。 A=[11 -1; 20 1; 11 0] ; eig(A) % 传回 eigenvalues 所形成的行向量[V, D]= eig(A) %D 是由 eigenvalues 形成的 diagonal matrix %V 是由 eigenvalues 所对应的 eigenvectors 形成的 matrix ..页眉.. 页脚.. ans = - V= - - - - - D= 00 0 - 0 00 在上面的输出结果中,V的第一行行向量,为 eigenvalue 所对应的 eigenvector ;第二行行向量,为 eigenvalue - 所对应的 eigenvector ;第三行行向量,即为 eigenvalue 所对应的 eigenvector 。 rank(V) % 检查 V 的行向量是否线性独立 inv(V)*A*V % 验证 A 是否对角化 ans =3 ans = - - - - - - 从 rank(V) =3, V的行向量是线性独立,得知 A可对角化而且 V -1 AV 也几乎近似于 diagonal matrix D.